北海道大学 1996年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1) $P_n$ は曲線 $y=f(x)$ 上の点で、$x$ 座標が $x_n$ であるから $P_n=(x_n,f(x_n))$ である。ここから $x$ 軸に平行な直線を引くと、直線 $y=x$ との交点は $Q_n=(f(x_n),f(x_n))$ である。さらに $Q_n$ から $x$ 軸に垂線を下ろした直線は $x=f(x_n)$ であり、曲線との交点の $x$ 座標が $x_{n+1}$ である。したがって $$x_{n+1}=f(x_n)={\displaystyle \frac{1}{2}}(x_n+{\displaystyle \frac{2}{x_n}})$$ である。

(2) $x_n>\sqrt{2}$ とすると、(1)より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle x_{n+1}-\sqrt{2}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}(x_n+{\displaystyle \frac{2}{x_n}})-\sqrt{2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{x_n^2+2-2\sqrt{2}{x}_n}{2x_n}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(x_n-\sqrt{2}{)}^2}{2x_n}}}\end{array}$$である。したがって $x_{n+1}-\sqrt{2}\geqq 0$ であり、$x_{n+1}\geqq \sqrt{2}$ である。また $x_n>\sqrt{2}$ より $${\displaystyle \frac{(x_n-\sqrt{2}{)}^2}{2x_n}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}(x_n-\sqrt{2})$$ であるから、$$0\leqq x_{n+1}-\sqrt{2}\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}(x_n-\sqrt{2})$$ が成り立つ。

これを繰り返すと $$0\leqq x_n-\sqrt{2}\leqq {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{n-1}(x_1-\sqrt{2})$$ となる。右辺は $n\to \mathrm{\infty }$ で $0$ に近づくので、はさみうちにより$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=\sqrt{2}$$である。

(3)

点 $(t,g(t))$ における接線は$$y-g(t)=g^{\mathrm{\prime }}(t)(x-t)$$である。その $x$ 軸との交点の $x$ 座標を $h(t)$ とすると$$h(t)=t-{\displaystyle \frac{g(t)}{g^{\mathrm{\prime }}(t)}}\mathrm{.}$$これが (1) の関係に等しいので$$t-{\displaystyle \frac{g(t)}{g^{\mathrm{\prime }}(t)}}={\displaystyle \frac{1}{2}}(t+{\displaystyle \frac{2}{t}})\mathrm{.}$$したがって$${\displaystyle \frac{g^{\mathrm{\prime }}(t)}{g(t)}}={\displaystyle \frac{2t}{t^2-2}}\mathrm{.}$$$t>\sqrt{2}$ で積分して$$\log \mathrm{\mid }g(t)\mathrm{\mid }=\log (t^2-2)+C_0\mathrm{.}$$よって$$g(x)=C(x^2-2)(C\mathrm{\ne }0)\mathrm{.}$$

反復 $x_{n+1}=f(x_n)$

反復式を $\sqrt{2}$ に関する比 $u_n=(x_n-\sqrt{2})\mathrm{/}(x_n+\sqrt{2})$ で共役変換し、$u_{n+1}=u_n^2$ という明示的な反復へ直す。最後は接線の切片条件を微分方程式として解く。

(1)

$P_n=(x_n,f(x_n))$ から水平に進んで $y=x$ と交わる点は
$(f(x_n),f(x_n))$ である。よって次の $x$ 座標は$$x_{n+1}=f(x_n)={\displaystyle \frac{1}{2}}(x_n+{\displaystyle \frac{2}{x_n}})\mathrm{.}$$(2)$$u_n={\displaystyle \frac{x_n-\sqrt{2}}{x_n+\sqrt{2}}}$$とおく。$x_1>\sqrt{2}$ だから $0<u_1<1$ である。(1)から$$x_{n+1}\mp \sqrt{2}={\displaystyle \frac{(x_n\mp \sqrt{2}{)}^2}{2x_n}}$$なので$$u_{n+1}=u_n^2\mathrm{.}$$したがって$$u_n=u_1^{2^{n-1}}⟶0.$$また$$x_n=\sqrt{2}{\displaystyle \frac{1+u_n}{1-u_n}}$$だから $x_n\to \sqrt{2}$ である。

さらに直接$$x_{n+1}-\sqrt{2}={\displaystyle \frac{(x_n-\sqrt{2}{)}^2}{2x_n}}$$であり、$x_n>\sqrt{2}$ から$$0\leqq x_{n+1}-\sqrt{2}\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}(x_n-\sqrt{2})\mathrm{.}$$(3)

接線の $x$ 切片は$$h(t)=t-{\displaystyle \frac{g(t)}{g^{\mathrm{\prime }}(t)}}\mathrm{.}$$これが (1) の右辺に等しいから$$t-{\displaystyle \frac{g(t)}{g^{\mathrm{\prime }}(t)}}={\displaystyle \frac{1}{2}}(t+{\displaystyle \frac{2}{t}})\mathrm{.}$$よって$${\displaystyle \frac{g^{\mathrm{\prime }}(t)}{g(t)}}={\displaystyle \frac{2t}{t^2-2}}\mathrm{.}$$$t>\sqrt{2}$ で積分すると$$\log \mathrm{\mid }g(t)\mathrm{\mid }=\log (t^2-2)+C_0\mathrm{.}$$したがって$$g(x)=C(x^2-2)(C\mathrm{\ne }0)\mathrm{.}$$