北海道大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1) $n=1$ のとき$$\sum _{k=1}^2{\displaystyle \frac{1}{k}}=1+{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$$であり、右辺も ${\displaystyle \frac{1}{2}}+1={\displaystyle \frac{3}{2}}$ であるから成り立つ。

次に、ある $n\geqq 1$ で$$\sum _{k=1}^{2^n}{\displaystyle \frac{1}{k}}\geqq {\displaystyle \frac{n}{2}}+1$$が成り立つと仮定する。このとき$$\sum _{k=1}^{2^{n+1}}{\displaystyle \frac{1}{k}}=\sum _{k=1}^{2^n}{\displaystyle \frac{1}{k}}+\sum _{k=2^n+1}^{2^{n+1}}{\displaystyle \frac{1}{k}}$$である。後半の和には $2^n$ 個の項があり、各項は $${\displaystyle \frac{1}{k}}\geqq {\displaystyle \frac{1}{2^{n+1}}}$$ を満たす。したがって$$\sum _{k=2^n+1}^{2^{n+1}}{\displaystyle \frac{1}{k}}\geqq 2^n\cdot {\displaystyle \frac{1}{2^{n+1}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$よって帰納法の仮定から$$\sum _{k=1}^{2^{n+1}}{\displaystyle \frac{1}{k}}\geqq ({\displaystyle \frac{n}{2}}+1)+{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{n+1}{2}}+1$$となる。以上より、数学的帰納法によって$$\sum _{k=1}^{2^n}{\displaystyle \frac{1}{k}}\geqq {\displaystyle \frac{n}{2}}+1$$がすべての正の整数 $n$ で成り立つ。

(2)
命題は偽である。反例として $$a_n=1+{\displaystyle \frac{1}{2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{n}}$$ をとる。このとき $$a_{n+1}-a_n={\displaystyle \frac{1}{n+1}}$$ であるから、$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(a_{n+1}-a_n)=0$$を満たす。

しかし (1) より$$a_{2^n}=\sum _{k=1}^{2^n}{\displaystyle \frac{1}{k}}\geqq {\displaystyle \frac{n}{2}}+1$$である。右辺は $n\to \mathrm{\infty }$ で限りなく大きくなるので、部分列 $a_{2^n}$ は有界でない。したがって数列 $\{a_n\}$ は収束しない。よって与えられた命題は偽である。

(1) は調和和を2進区間ごとのブロックに分け、各ブロックが少なくとも $1\mathrm{/}2$ を加えることを帰納法の形にする。(2)は調和数列とは別に $a_n=\sqrt{n}$ を反例として使う。

(1) $$H_n=\sum _{k=1}^{2^n}{\displaystyle \frac{1}{k}}$$とおく。$n=1$ では $H_1=3\mathrm{/}2$ で、主張は成り立つ。
ある $n\geqq 1$ で $H_n\geqq n\mathrm{/}2+1$ と仮定する。$$2^n+1\leqq k\leqq 2^{n+1}$$ では $1\mathrm{/}k\geqq 1\mathrm{/}{2}^{n+1}$ であり、
この範囲には $2^n$ 個の整数がある。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle H_{n+1}-H_n}& {\displaystyle =\sum _{k=2^n+1}^{2^{n+1}}{\displaystyle \frac{1}{k}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \geqq 2^n\cdot {\displaystyle \frac{1}{2^{n+1}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$H_{n+1}\geqq {\displaystyle \frac{n}{2}}+1+{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{n+1}{2}}+1.$$数学的帰納法により主張が示された。

(2)

命題は偽である。反例として$$a_n=\sqrt{n}$$をとる。このとき$$a_{n+1}-a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}⟶0.$$しかし $$a_n=\sqrt{n}\to \mathrm{\infty }$$ であり、数列は収束しない。
よって差が $0$ に収束することは、元の数列の収束を保証しない。