北海道大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)
与えられた等式は $x\mathrm{\ne }1$ で $${\displaystyle \frac{1}{x-1}}{\int }_1^{x}f(t)dt=x^n$$ である。両辺に $x-1$ を掛けると $${\int }_1^{x}f(t)dt=(x-1)x^n$$ となる。両辺を $x$ で微分すると、左辺は積分の上端の微分により $f(x)$ であるから $f(x)=x^n+n(x-1)x^{n-1}$ を得る。整理して $f(x)=(n+1)x^n-n{x}^{n-1}$ である。

この関数は多項式なので微分可能であり、実際に $${\int }_1^x\{(n+1)t^n-n{t}^{n-1}\}dt=x^{n+1}-x^n=(x-1)x^n$$ を満たす。したがって条件を満たす関数はこれである。

(2) $f$ の原始関数を $F$ とする。条件は、任意の $x\mathrm{\ne }a$ について $${\displaystyle \frac{F(x)-F(a)}{x-a}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\{f(x)+f(a)\}$$ である。両辺に $2(x-a)$ を掛けると $$2\{F(x)-F(a)\}=(x-a)\{f(x)+f(a)\}$$ である。

まず $a$ を固定して $x$ で微分すると $$2f(x)=f(x)+f(a)+(x-a)f^{\mathrm{\prime }}(x)$$ より $f(x)-f(a)=(x-a)f^{\mathrm{\prime }}(x)$ を得る。次に $x$ を固定して $a$ で微分すると $$-2f(a)=-\{f(x)+f(a)\}+(x-a)f^{\mathrm{\prime }}(a)$$ であるから $f(x)-f(a)=(x-a)f^{\mathrm{\prime }}(a)$ である。

したがって、任意の $x\mathrm{\ne }a$ について $$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{x-a}}=f^{\mathrm{\prime }}(a)$$ となる。つまり、異なる2点での微分係数がいつも等しいので、$f^{\mathrm{\prime }}(x)$ は定数である。よって $f$ は一次関数である。 $f(0)=1$、$f^{\mathrm{\prime }}(0)=2$ より、その一次関数は $f(x)=2x+1$ である。

区間平均と端点平均

(1) は右辺を積分の原始関数として微分する。(2)は条件を $a=0$ に限定して得られる微分方程式を、正の半直線・負の半直線で解き、原点での微分可能性が左右の定数を一致させることを示す。

(1)

与式を$${\int }_1^{x}f(t)dt=(x-1)x^n$$と直し、$x\mathrm{\ne }1$ で微分すると$$f(x)=x^n+n(x-1)x^{n-1}=(n+1)x^n-n{x}^{n-1}\mathrm{.}$$右辺は多項式なので $x=1$ にも連続に拡張される。実際に積分すれば$${\int }_1^x\{(n+1)t^n-n{t}^{n-1}\}dt=(x-1)x^n$$となるため、求める関数は$$f(x)=(n+1)x^n-n{x}^{n-1}$$である。

(2)

条件はすべての $a$ で成り立つので、特に $a=0$ としてよい。$f(0)=1$ を使うと$$2{\int }_0^{x}f(t)dt=x\{f(x)+1\}\mathrm{.}$$$x\mathrm{\ne }0$ で微分して$$2f(x)=f(x)+1+x{f}^{\mathrm{\prime }}(x),x{f}^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)-1$$を得る。$u(x)=f(x)-1$ と置けば $x{u}^{\mathrm{\prime }}(x)=u(x)$ である。したがって正負それぞれの半直線で$$f(x)=1+C_{+}x(x>0),f(x)=1+C_{-}x(x<0)$$となる。

$f$ は原点で微分可能で $f^{\mathrm{\prime }}(0)=2$ だから $C_{+}=C_{-}=2$ である。よって全実数で$$f(x)=2x+1.$$この一次関数を元の等式へ代入すると両辺はいずれも $x+a+1$ となり、条件を満たす。