北海道大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ である。$f(0)=1$ より $d=1$ である。また $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3a{x}^2+2bx+c$ なので、$f^{\mathrm{\prime }}(0)=2$ より $c=2$ である。

残りの条件 $f(t)=p$、$f^{\mathrm{\prime }}(t)=q$ は $a{t}^3+b{t}^2+2t+1=p$ および $3a{t}^2+2bt+2=q$ である。すなわち $a{t}^3+b{t}^2=p-2t-1$ $3a{t}^2+2bt=q-2$ を解けばよい。消去すると $$a={\displaystyle \frac{-2p+qt+2t+2}{t^3}}$$ であり、これを戻すと $$b={\displaystyle \frac{3p-qt-4t-3}{t^2}}$$ である。

(2) $t>0$ であるから、$a\leqq 0$ は $-2p+qt+2t+2\leqq 0$ すなわち $$q\leqq {\displaystyle \frac{2p-2t-2}{t}}$$ である。また $b\leqq 0$ は $3p-qt-4t-3\leqq 0$ すなわち $$q\geqq {\displaystyle \frac{3p-4t-3}{t}}$$ である。さらに $p\geqq 0$ である。

2本の直線の上下関係が成り立つには $${\displaystyle \frac{3p-4t-3}{t}}\leqq {\displaystyle \frac{2p-2t-2}{t}}$$ でなければならない。$t>0$ より整理して $p\leqq 2t+1$ である。したがって領域は $0\leqq p\leqq 2t+1$ の範囲で、2本の直線 $$q={\displaystyle \frac{3p-4t-3}{t}},q={\displaystyle \frac{2p-2t-2}{t}}$$ に挟まれた三角形である。

頂点は、$p=0$ での2点 $(0,-{\displaystyle \frac{4t+3}{t}}),(0,-{\displaystyle \frac{2t+2}{t}})$ と、2本の直線の交点 $(2t+1,2)$ である。$p=0$ 上の縦の長さは $$-{\displaystyle \frac{2t+2}{t}}+{\displaystyle \frac{4t+3}{t}}={\displaystyle \frac{2t+1}{t}}$$ であり、横の高さは $2t+1$ である。したがって面積は $$S={\displaystyle \frac{1}{2}}(2t+1)\cdot {\displaystyle \frac{2t+1}{t}}={\displaystyle \frac{(2t+1{)}^2}{2t}}$$ である。

(3)

(2) より $$S={\displaystyle \frac{(2t+1{)}^2}{2t}}=2t+2+{\displaystyle \frac{1}{2t}}$$ である。微分すると $S^{\mathrm{\prime }}=2-{\displaystyle \frac{1}{2t^2}}$ である。$S^{\mathrm{\prime }}=0$ となるのは $2={\displaystyle \frac{1}{2t^2}}$ より $t={\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。$t>0$ で、$S^{\mathrm{\prime }}$ は $t<1\mathrm{/}2$ で負、$t>1\mathrm{/}2$ で正となるので、ここで最小となる。

このとき $$S=2\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}+2+{\displaystyle \frac{1}{2\cdot (1\mathrm{/}2)}}=4$$ である。したがって $$t={\displaystyle \frac{1}{2}},S_{\min }=4$$ である。

一次部分 $1+2x$ を先に引き，残る $a{x}^3+b{x}^2$ の終点値と終点微分を連立する。(2)の面積は2直線の縦の差を $p$ について積分して求め，(3)は相加相乗平均で処理する。

(1) $$g(x)=f(x)-(1+2x)=a{x}^3+b{x}^2$$とおく。条件から$$a{t}^3+b{t}^2=p-1-2t,$$$$3a{t}^2+2bt=q-2.$$第2式に $t$ を掛け，第1式の2倍を引くと$$a={\displaystyle \frac{-2p+qt+2t+2}{t^3}}\mathrm{.}$$これを戻して$$b={\displaystyle \frac{3p-qt-4t-3}{t^2}}\mathrm{.}$$また $c=2,d=1$ である。

(2)

$a\leqq 0,b\leqq 0,p\geqq 0$ は$$p\geqq 0,{\displaystyle \frac{3p-4t-3}{t}}\leqq q\leqq {\displaystyle \frac{2p-2t-2}{t}}$$と同値である。上下の直線の差が非負となる条件は$$0\leqq p\leqq 2t+1.$$よって面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_0^{2t+1}\{{\displaystyle \frac{2p-2t-2}{t}}-{\displaystyle \frac{3p-4t-3}{t}}\}dp}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{t}}{\int }_0^{2t+1}(2t+1-p)dp}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(2t+1{)}^2}{2t}}\mathrm{.}}\end{array}$$(3)$$S=2+2t+{\displaystyle \frac{1}{2t}}\mathrm{.}$$相加相乗平均より$$2t+{\displaystyle \frac{1}{2t}}\geqq 2.$$等号は $2t=1\mathrm{/}(2t)$，すなわち $t=1\mathrm{/}2$ のときである。したがって$$t={\displaystyle \frac{1}{2}},S_{\min }=4.$$