北海道大学 2003年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1)

曲線 $C$ を $$y={\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2}}$$ とおく。点 $P$ の $x$ 座標が $u$ のとき、$$P=(u,{\displaystyle \frac{e^u+e^{-u}}{2}})$$ である。

導関数は $${\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{2}}$$ だから、点 $P$ における接線方向ベクトルとして $(1,{\displaystyle \frac{e^u-e^{-u}}{2}})$ が取れる。この長さは $$\sqrt{1+{\left({\displaystyle \frac{e^u-e^{-u}}{2}}\right)}^2}={\displaystyle \frac{e^u+e^{-u}}{2}}$$ である。実際、$$(e^u+e^{-u}{)}^2-(e^u-e^{-u}{)}^2=4$$ を用いればよい。

接線方向 $(1,m)$ に垂直な方向は $(-m,1)$ である。上側を向く単位法線ベクトルは $(-{\displaystyle \frac{e^u-e^{-u}}{e^u+e^{-u}}},{\displaystyle \frac{2}{e^u+e^{-u}}})$ である。点 $Q$ は $P$ からこの向きに距離1だけ進んだ点なので、$$Q=(u-{\displaystyle \frac{e^u-e^{-u}}{e^u+e^{-u}}},{\displaystyle \frac{e^u+e^{-u}}{2}}+{\displaystyle \frac{2}{e^u+e^{-u}}})$$である。

(2)

点 $P$ の速度の大きさは1で、$x$ 成分は正である。$u$ を時刻の関数と見ると、点 $P$ の速度の大きさは$${\displaystyle \frac{du}{dt}}\sqrt{1+{\left({\displaystyle \frac{e^u-e^{-u}}{2}}\right)}^2}={\displaystyle \frac{du}{dt}}\cdot {\displaystyle \frac{e^u+e^{-u}}{2}}$$である。これが1に等しいから $${\displaystyle \frac{du}{dt}}={\displaystyle \frac{2}{e^u+e^{-u}}}$$ である。

ここで $$A=e^u-e^{-u},B=e^u+e^{-u}$$ とおく。このとき $$A^{\mathrm{\prime }}=B,B^{\mathrm{\prime }}=A,B^2-A^2=4$$ であり、(1)の $Q$ は $$Q=(u-{\displaystyle \frac{A}{B}},{\displaystyle \frac{B}{2}}+{\displaystyle \frac{2}{B}})$$ と書ける。 $u$ で微分すると、$Q$ の第1成分について$${\displaystyle \frac{d}{du}}(u-{\displaystyle \frac{A}{B}})=1-{\displaystyle \frac{A^{\mathrm{\prime }}B-A{B}^{\mathrm{\prime }}}{B^2}}=1-{\displaystyle \frac{B^2-A^2}{B^2}}=1-{\displaystyle \frac{4}{B^2}}={\displaystyle \frac{A^2}{B^2}}$$である。また第2成分について$${\displaystyle \frac{d}{du}}({\displaystyle \frac{B}{2}}+{\displaystyle \frac{2}{B}})={\displaystyle \frac{A}{2}}-{\displaystyle \frac{2A}{B^2}}={\displaystyle \frac{A(B^2-4)}{2B^2}}={\displaystyle \frac{A^3}{2B^2}}$$である。

したがって、$u$ を変数としたときの $Q$ の速さは$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sqrt{{\left({\displaystyle \frac{A^2}{B^2}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{A^3}{2B^2}}\right)}^2}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{A^2}{B^2}}\sqrt{1+{\displaystyle \frac{A^2}{4}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{A^2}{B^2}}\cdot {\displaystyle \frac{B}{2}}={\displaystyle \frac{A^2}{2B}}\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $B>0$ を用いた。

時刻に関する $Q$ の速度の大きさは、これに $du\mathrm{/}dt=2\mathrm{/}B$ を掛けたものなので$${\displaystyle \frac{A^2}{2B}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{B}}={\displaystyle \frac{A^2}{B^2}}={\left({\displaystyle \frac{e^u-e^{-u}}{e^u+e^{-u}}}\right)}^2$$である。

この値は $u=0$ で0をとる。また任意の実数 $u$ について $\mathrm{\mid }{e}^u-e^{-u}\mathrm{\mid }<e^u+e^{-u}$ であるから、速度の大きさは1より小さい。さらに $\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }$ を大きくすると、この比の絶対値は1に近づく。したがって、速度の大きさのとり得る範囲は $0\leqq v<1$ である。

曲線の上側単位法線

$s=(e^u-e^{-u})\mathrm{/}(e^u+e^{-u})$、$c=2\mathrm{/}(e^u+e^{-u})$ と置くと $s^2+c^2=1$ である。点 $Q$ の座標と $du\mathrm{/}dt$ を $s,c$ で書き、$ds\mathrm{/}du=c^2,dc\mathrm{/}du=-sc$ を使って速度を短く計算する。

$$s={\displaystyle \frac{e^u-e^{-u}}{e^u+e^{-u}}},c={\displaystyle \frac{2}{e^u+e^{-u}}}$$と置くと $s^2+c^2=1$ である。

(1)
上向き単位法線は $(-s,c)$ だから$$Q=(u-s,c^{-1}+c)\mathrm{.}$$(2)
点 $P$ の速さが1で $x$ 成分が正であることから$${\displaystyle \frac{du}{dt}}=c\mathrm{.}$$また$${\displaystyle \frac{ds}{du}}=c^2,{\displaystyle \frac{dc}{du}}=-sc\mathrm{.}$$よって $Q=(X,Y)$ とすると$${\displaystyle \frac{dX}{dt}}=c(1-c^2)=c{s}^2,$$$${\displaystyle \frac{dY}{dt}}=c{\displaystyle \frac{d}{du}}(c^{-1}+c)=s^3\mathrm{.}$$したがって $Q$ の速さは$$\sqrt{c^2{s}^4+s^6}=s^2\sqrt{c^2+s^2}=s^2\mathrm{.}$$$s$ は $-1<s<1$ のすべての値をとるので、求める範囲は$$0\leqq s^2<1$$である。