北海道大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)

与式を変形すると$$A(E-A)=E,(E-A)A=E$$である。したがって $E-A$ は $A$ の逆行列であり、$$A^{-1}=E-A$$となる。

(2) $$A^2=\left(\begin{array}{cc}{a}^2+bc& b(a+d)\\ c(a+d)& bc+d^2\end{array}\right)$$であるから、$A^2-A+E=O$ の非対角成分より$$b(a+d-1)=0,c(a+d-1)=0.$$もし $b=c=0$ なら、対角成分から $a^2-a+1=0$ が必要になるが、この2次方程式は実数解をもたない。よって $b,c$ の少なくとも一方は0でなく、$$a+d=1$$である。

一方、左上成分から$$a^2+bc-a+1=0,bc=-a^2+a-1.$$$d=1-a$ を用いると$$ad-bc=a(1-a)-(-a^2+a-1)=1.$$したがって$$a+d=1,ad-bc=1.$$(3)

（1）より$$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1-a& -b\\ -c& 1-d\end{array}\right)\mathrm{.}$$これを問題の$$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right)$$と比較すると$$a=d=\frac{1}{2},c=-b\mathrm{.}$$さらに $ad-bc=1$ より$$\frac{1}{4}+b^2=1.$$$b>0$ であるから$$b=\frac{\sqrt{3}}{2},c=-\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{.}$$よって$$A=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)\mathrm{.}$$