北海道大学 2009年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1)

$\alpha +\beta +\gamma =0$を2乗すると $$(\alpha +\beta +\gamma {)}^2=0$$ である。左辺を展開して $${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2+2(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )=0$$ となる。ここで $$z={\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2$$ だから $$z+2(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )=0$$ である。よって $$\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =-{\displaystyle \frac{z}{2}}$$ である。

(2)

まず $$z^2=({\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2{)}^2$$ であるから，展開して$$z^2={\alpha }^4+{\beta }^4+{\gamma }^4+2({\alpha }^2{\beta }^2+{\beta }^2{\gamma }^2+{\gamma }^2{\alpha }^2)$$である。

次に $(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha {)}^2$ を展開すると$${\alpha }^2{\beta }^2+{\beta }^2{\gamma }^2+{\gamma }^2{\alpha }^2+2\alpha \beta \gamma (\alpha +\beta +\gamma )$$である。ところが$\alpha +\beta +\gamma =0$なので，最後の項は0である。したがって$${\alpha }^2{\beta }^2+{\beta }^2{\gamma }^2+{\gamma }^2{\alpha }^2=(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha {)}^2={(-{\displaystyle \frac{z}{2}})}^2={\displaystyle \frac{z^2}{4}}$$である。

これを$z^2$の式に代入すると$$z^2={\alpha }^4+{\beta }^4+{\gamma }^4+2\cdot {\displaystyle \frac{z^2}{4}}={\alpha }^4+{\beta }^4+{\gamma }^4+{\displaystyle \frac{z^2}{2}}$$である。よって $${\alpha }^4+{\beta }^4+{\gamma }^4={\displaystyle \frac{z^2}{2}}$$ である。