北海道大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)

直線を $y=mx+n$ とおく。これが $C_1:y=x^2$ に接するためには，$x^2=mx+n$ が重解をもてばよい。すなわち判別式より $m^2+4n=0,$ したがって $$n=-\frac{m^2}{4}$$ である。

同じ直線が $C_2:y=x^2-4ax+4a$ にも接する条件を調べると，$x^2-4ax+4a=mx+n$ すなわち $x^2-(4a+m)x+4a-n=0$ が重解をもつから，$(4a+m{)}^2-4(4a-n)=0$ である。ここに $n=-m^2\mathrm{/}4$ を代入すると $(4a+m{)}^2-16a-m^2=0$ となる。整理して $16a^2+8am-16a=0.$ $a>0$ より両辺を $8a$ で割ると $2a+m-2=0,$ したがって $m=2(1-a)$ である。よって $$n=-\frac{\{2(1-a){\}}^2}{4}=-(1-a{)}^2$$ となり，求める共通接線は $y=2(1-a)x-(1-a{)}^2$ である。

$a=1$ の代表図。左右の色付き部分をそれぞれ積分する。

(2)

接点の位置も確認しておく。$C_1$ において接線の傾きは $2x$ であるから，接点の $x$ 座標は $2x=2(1-a),x=1-a$ である。また $C_2$ の傾きは $2x-4a$ なので，$$2x-4a=2(1-a),x=1+a$$ である。

一方，2つの放物線の交点は $x^2=x^2-4ax+4a$ より $4a(1-x)=0$ であり，$a>0$ だから $x=1$ である。したがって，囲まれる領域は $x=1-a$ から $x=1$ までは $C_1$ と接線の間，$x=1$ から $x=1+a$ までは $C_2$ と接線の間に分けて計算できる。

$C_1$ と接線の差は $$x^2-\{2(1-a)x-(1-a{)}^2\}=(x-(1-a){)}^2\mathrm{.}$$ また $C_2$ と接線の差は $$x^2-4ax+4a-\{2(1-a)x-(1-a{)}^2\}=(x-(1+a){)}^2\mathrm{.}$$ よって面積 $S$ は $$S={\int }_{1-a}^1(x-(1-a){)}^{2}dx+{\int }_1^{1+a}(x-(1+a){)}^{2}dx\mathrm{.}$$ それぞれ $u=x-(1-a)$，$v=x-(1+a)$ と見れば $$S={\int }_0^a{u}^{2}du+{\int }_{-a}^0{v}^{2}dv=\frac{a^3}{3}+\frac{a^3}{3}\mathrm{.}$$ したがって $$S=\frac{2a^3}{3}$$ である。

2つの放物線上の接点の $x$ 座標をそれぞれ文字で置き、接線公式の傾きと切片を直接比較する。判別式を展開せずに接点 $1-a,1+a$ が決まり、面積は解法1と同じ2区間の積分で求める。

(1)

$C_1$ 上の $x=u$ における接線は$$y=2ux-u^2$$である。一方、$C_2$ 上の $x=v$ における接線は$$y=(2v-4a)x+4a-v^2$$である。

これらが同じ直線になるための条件は$$2u=2v-4a,-u^2=4a-v^2\mathrm{.}$$第1式から $v=u+2a$ である。これを第2式へ代入すると$$-u^2=4a-(u+2a{)}^2$$であり、$a>0$ を用いて整理すれば $u=1-a,v=1+a$ を得る。したがって$$l:y=2(1-a)x-(1-a{)}^2$$である。

(2)

2放物線は $x=1$ で交わり、接点の $x$ 座標は $1-a,1+a$ である。各放物線と接線との差は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle C_1-l}& {\displaystyle =\{x-(1-a){\}}^2,}\\ {\displaystyle C_2-l}& {\displaystyle =\{x-(1+a){\}}^2\mathrm{.}}\end{array}$$よって面積 $S$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_{1-a}^1\{x-(1-a){\}}^{2}dx+{\int }_1^{1+a}\{x-(1+a){\}}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{a^3}{3}+\frac{a^3}{3}=\frac{2a^3}{3}\mathrm{.}}\end{array}$$