北海道大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $a,b>0$ であり、$a\cos x$ は $0\leqq x\leqq \pi \mathrm{/}2$ で減少し、$b\sin x$ は増加する。したがって交点はただ1つで、その $x$ 座標 $t$ は $0<t<\pi \mathrm{/}2$ を満たす。

交点条件 $a\cos t=b\sin t$ から $\tan t=a\mathrm{/}b$ である。第1象限の角なので、$$\sin t=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\cos t=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\mathrm{.}$$(2) $0\leqq x\leqq t$ では $a\cos x\geqq b\sin x$ だから、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_0^t(a\cos x-b\sin x)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[a\sin x+b\cos x]}_0^t}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a\sin t+b\cos t-b}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sqrt{a^2+b^2}-b\mathrm{.}}\end{array}$$(3) $t\leqq x\leqq \pi \mathrm{/}2$ では上下関係が逆になるので、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle T}& {\displaystyle ={\int }_t^{\pi \mathrm{/}2}(b\sin x-a\cos x)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[-b\cos x-a\sin x]}_t^{\pi \mathrm{/}2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sqrt{a^2+b^2}-a\mathrm{.}}\end{array}$$したがって $T=2S$ は$$\sqrt{a^2+b^2}-a=2(\sqrt{a^2+b^2}-b)$$と同値であり、$$\sqrt{a^2+b^2}=2b-a$$を得る。左辺は正なので $2b-a>0$ が必要である。両辺を平方すると$$a^2+b^2=(2b-a{)}^2⟹3b^2-4ab=0.$$$b>0$ より$$b=\frac{4}{3}a\mathrm{.}$$このとき $2b-a=5a\mathrm{/}3>0$ で、元の式にも代入して成立する。

上下関係と2つの面積は次図のようになる。図では条件 $b=4a\mathrm{/}3$ の一例として $a=1$ とした。