北海道大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)
行列 $A$ によって点 $(x,y)$ は $(x,y)\mapsto (ax+by,cx+dy)$ へ移る。

条件(イ)より、直線 $y=x$ 上の方向ベクトル $(1,1)$ の像 $(a+b,c+d)$ も直線 $y=x$ 上にある。したがって $a+b=c+d$ である。

条件(ロ)より、直線 $y=-x$ 上の方向ベクトル $(1,-1)$ の像 $(a-b,c-d)$ も直線 $y=-x$ 上にある。したがって $c-d=-(a-b)$ である。2式 $$a+b=c+d,c-d=-a+b$$ を加減すると $c=b,d=a$ を得る。

条件(ハ)より、x軸上の方向ベクトル $(1,0)$ の像 $(a,c)=(a,b)$ は直線 $y=kx$ 上にある。ここで $a=0$ なら、後で得る $a^2-b^2=1$ に反して不可能である。よって $b=ka$ である。

行列式条件 $ad-bc=1$ は、$c=b,d=a$ より $a^2-b^2=1$ となる。さらに $b=ka$ を代入すると $a^2(1-k^2)=1$ である。左辺が正でなければならないので $1-k^2>0$ である。したがって $-1<k<1$ である。

(2)
(1)より $a^2(1-k^2)=1$ であるから $$a=\pm \frac{1}{\sqrt{1-k^2}}$$ である。また $b=ka$、$c=b$、$d=a$ なので$$A=\left(\begin{array}{cc}a& ka\\ ka& a\end{array}\right)=a\left(\begin{array}{cc}1& k\\ k& 1\end{array}\right)$$である。よって$$A=\frac{1}{\sqrt{1-k^2}}\left(\begin{array}{cc}1& k\\ k& 1\end{array}\right)$$または$$A=-\frac{1}{\sqrt{1-k^2}}\left(\begin{array}{cc}1& k\\ k& 1\end{array}\right)$$である。

直線 $y=x$、$y=-x$ の方向ベクトルを固有ベクトルとして扱う。2方向の倍率を $\alpha ,\beta$ とすれば、行列式条件は$\alpha \beta =1$、x軸の像の傾き条件は$k=(\alpha -\beta )\mathrm{/}(\alpha +\beta )$ となる。ここから倍率を決め、標準基底へ戻す。

(1) $$\mathit{u}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),\mathit{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$$とおく。条件(イ)(ロ)より、ある実数 $\alpha ,\beta$ が存在して$$A\mathit{u}=\alpha \mathit{u},A\mathit{v}=\beta \mathit{v}$$と書ける。行列式は基底を変えても同じなので$$\alpha \beta =\det A=1.$$一方、$$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\frac{1}{2}\mathit{u}+\frac{1}{2}\mathit{v}$$であるから、x軸方向の像は$$\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}\alpha +\beta \\ \alpha -\beta \end{array}\right)\mathrm{.}$$$\alpha \beta =1$ なので $\alpha +\beta =0$ とはならない。条件(ハ)より$$k=\frac{\alpha -\beta }{\alpha +\beta }\mathrm{.}$$$r=\alpha \mathrm{/}\beta$ とおけば、$\alpha \beta =1$ より $r={\alpha }^2>0$ であり、$$k=\frac{r-1}{r+1}\mathrm{.}$$したがって$$-1<k<1.$$(2)
上式を $r$ について解くと$$r=\frac{1+k}{1-k}\mathrm{.}$$よって $\alpha ,\beta$ は同符号で、$$\alpha =\pm \sqrt{\frac{1+k}{1-k}},\beta =\pm \sqrt{\frac{1-k}{1+k}}$$である。ただし2つの符号は同時に選ぶ。

基底 $\mathit{u},\mathit{v}$ から標準基底へ戻すと$$A=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}\alpha +\beta & \alpha -\beta \\ \alpha -\beta & \alpha +\beta \end{array}\right)\mathrm{.}$$したがって$$A=\frac{1}{\sqrt{1-k^2}}\left(\begin{array}{cc}1& k\\ k& 1\end{array}\right)$$または$$A=-\frac{1}{\sqrt{1-k^2}}\left(\begin{array}{cc}1& k\\ k& 1\end{array}\right)$$である。