北海道大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1) 直線 $y=x$ に関する対称移動は座標を入れ替えるので、$$f:\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\mathrm{.}$$また、原点のまわりの120度回転は$$h:\left(\begin{array}{cc}\cos {120}^{\circ }& -\sin {120}^{\circ }\\ \sin {120}^{\circ }& \cos {120}^{\circ }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)\mathrm{.}$$(2) 直線 $y=cx$ の方向の単位ベクトルを$$\mathit{e}=\frac{1}{\sqrt{1+c^2}}\left(\begin{array}{c}1\\ c\end{array}\right)$$とする。ベクトル $\mathit{v}$ をこの直線に関して反射すると$$\mathit{v}⟼2(\mathit{v}\cdot \mathit{e})\mathit{e}-\mathit{v}$$だから、$$g:\frac{1}{1+c^2}\left(\begin{array}{cc}1-c^2& 2c\\ 2c& c^2-1\end{array}\right)\mathrm{.}$$(3) $g$ の後に $f$ を行う合成 $f\circ g$ の行列は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\frac{1}{1+c^2}\left(\begin{array}{cc}1-c^2& 2c\\ 2c& c^2-1\end{array}\right)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{1+c^2}\left(\begin{array}{cc}2c& c^2-1\\ 1-c^2& 2c\end{array}\right)\mathrm{.}}\end{array}$$これを(1)の回転行列と比較すると、$$\frac{2c}{1+c^2}=-\frac{1}{2},\frac{c^2-1}{1+c^2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{.}$$第1式から$$c^2+4c+1=0⟹c=-2\pm \sqrt{3}\mathrm{.}$$第2式を満たすのは $c=-2+\sqrt{3}$ だけである。したがって$$c=\sqrt{3}-2.$$

(1) 、(2)の行列は解法1と同様に求める。(3)では、原点を通る2直線に関する反射の合成が、最初の直線から次の直線へ測った角の2倍の回転になることを使う。直線 $y=cx$ の方向角を決め、最後に正接で傾きへ戻す。

(3) 直線 $y=cx$ の方向角を $\theta$ とする。方向角 $\theta$ の直線に関する反射 $g$ の後、方向角 ${45}^{\circ }$ の直線に関する反射 $f$ を行うと、合成は$$2({45}^{\circ }-\theta )$$だけ反時計回りに回転する。

これが120度回転に等しいから$$2({45}^{\circ }-\theta )={120}^{\circ }⟹\theta =-{15}^{\circ }\mathrm{.}$$よって直線の傾きは$$c=\tan (-{15}^{\circ })=-(2-\sqrt{3})=\sqrt{3}-2.$$この値は負であり、方向角 $-{15}^{\circ }$ とも一致する。