問題
三角形において，辺をに内分する点をとし，直線に関して点と対称な点をとする。，とし，，を満たすとする。
(1) 点から直線に下ろした垂線と直線との交点をとする。をを用いて表せ。
(2) を，を用いて表せ。
(3) 三角形の面積がになるとき，の値を求めよ。
方針
解法1（座標を置いて面積条件を処理する方法）
(1)(2) は射影と対称移動で処理する。 は の への射影， は の射影点を中点として反対側へ移した点である。(3) は座標を置くと最短で， を 軸， としてよい。 から の 座標が決まり，三角形 の面積は の高さ成分だけで表せる。
解法2（高さだけを追う幾何的方法）
(1)(2) は射影で求める。(3) では から までの距離を と置き，対称移動から を得る。さらに の射影点と の間隔を内分比から求め，三角形の面積を高さ だけで表す。
解答
解法1（座標を置いて面積条件を処理する方法）
(1)
は点 から直線 に下ろした垂線の足であるから， は の 方向への射影である。したがって
である。
(2)
は を に内分するから である。 の直線 への射影点を とすると
であり，
だから である。 は と直線 に関して対称なので， は の中点である。よって
(3)
直線 を 軸に取り， としてよい。 とおくと， より である。したがって とおける。
この座標で
である。 は を 軸に関して対称に移した点だから である。したがって は鉛直な線分で，その長さは である。また点 から直線 までの距離は である。よって
である。これが に等しいので である。
したがって
より である。
解法2（高さだけを追う幾何的方法）
(1)
は の直線 への射影だから
(2)
から に下ろした垂線の足を とする。
であるから，その 方向の成分を取って
を得る。 は の中点なので
(3)
点 から直線 までの距離を とする。 は を に内分するので， から までの距離は である。 は に関して対称だから
また
であるから， から直線 までの距離は
である。したがって
これが なので である。直角三角形 により
よって
である。