北海道大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $F$ は点 $B$ から直線 $OA$ に下ろした垂線の足であるから，$\overrightarrow{OF}$ は $\overrightarrow{b}$ の $\overrightarrow{a}$ 方向への射影である。したがって$$\overrightarrow{OF}=\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{a}{\mathrm{\mid }}^2}\overrightarrow{a}=\frac{6}{16}\overrightarrow{a}=\frac{3}{8}\overrightarrow{a}$$である。

(2) $D$ は $AB$ を $2:1$ に内分するから $$\overrightarrow{OD}=\frac{\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}}{3}$$ である。$D$ の直線 $OA$ への射影点を $H$ とすると$$\overrightarrow{OH}=\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{OD}}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{a}{\mathrm{\mid }}^2}\overrightarrow{a}$$であり，$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{OD}=\frac{\mathrm{\mid }\overrightarrow{a}{\mathrm{\mid }}^2+2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{3}=\frac{16+12}{3}=\frac{28}{3}$$だから $$\overrightarrow{OH}=\frac{7}{12}\overrightarrow{a}$$ である。$E$ は $D$ と直線 $OA$ に関して対称なので，$H$ は $DE$ の中点である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{OE}}& {\displaystyle =2\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OD}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{7}{6}\overrightarrow{a}-\frac{\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}}{3}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{5}{6}\overrightarrow{a}-\frac{2}{3}\overrightarrow{b}\mathrm{.}}\end{array}$$(3)

直線 $OA$ を $x$ 軸に取り，$\overrightarrow{a}=(4,0)$ としてよい。$\overrightarrow{b}=(p,q)$ とおくと，$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=6$$ より $4p=6,p=\frac{3}{2}$ である。したがって $$\overrightarrow{b}=(\frac{3}{2},q)$$ とおける。

この座標で$$D=\frac{A+2B}{3}=(\frac{4+2\cdot \frac{3}{2}}{3},\frac{2q}{3})=(\frac{7}{3},\frac{2q}{3})$$である。$E$ は $D$ を $x$ 軸に関して対称に移した点だから $$E=(\frac{7}{3},-\frac{2q}{3})$$ である。したがって $DE$ は鉛直な線分で，その長さは $$\mathrm{\mid }DE\mathrm{\mid }=\frac{4\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }}{3}$$ である。また点 $B({\displaystyle \frac{3}{2}},q)$ から直線 $DE:x={\displaystyle \frac{7}{3}}$ までの距離は $$\mid \frac{7}{3}-\frac{3}{2}\mid =\frac{5}{6}$$ である。よって$$[\mathrm{△}BDE]=\frac{1}{2}\cdot \frac{4\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }}{3}\cdot \frac{5}{6}=\frac{5\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }}{9}$$である。これが ${\displaystyle \frac{5}{9}}$ に等しいので $\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }=1$ である。

したがって$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{b}{\mathrm{\mid }}^2={\left(\frac{3}{2}\right)}^2+q^2=\frac{9}{4}+1=\frac{13}{4}$$より $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{b}\mathrm{\mid }=\frac{\sqrt{13}}{2}$$ である。

(1) (2) は射影で求める。(3) では $B$ から $OA$ までの距離を $h$ と置き，対称移動から $DE=4h\mathrm{/}3$ を得る。さらに $D$ の射影点と $F$ の間隔を内分比から求め，三角形の面積を高さ $h$ だけで表す。

(1)
$F$ は $B$ の直線 $OA$ への射影だから$$\overrightarrow{OF}=\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{a}{\mathrm{\mid }}^2}\overrightarrow{a}=\frac{3}{8}\overrightarrow{a}\mathrm{.}$$(2)
$D$ から $OA$ に下ろした垂線の足を $H$ とする。$$\overrightarrow{OD}=\frac{\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}}{3}$$であるから，その $\overrightarrow{a}$ 方向の成分を取って$$\overrightarrow{OH}=\frac{7}{12}\overrightarrow{a}$$を得る。$H$ は $DE$ の中点なので$$\overrightarrow{OE}=2\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OD}=\frac{5}{6}\overrightarrow{a}-\frac{2}{3}\overrightarrow{b}\mathrm{.}$$(3)
点 $B$ から直線 $OA$ までの距離を $h$ とする。$D$ は $AB$ を $2:1$ に内分するので，$D$ から $OA$ までの距離は $2h\mathrm{/}3$ である。$D,E$ は $OA$ に関して対称だから$$\mathrm{\mid }DE\mathrm{\mid }=\frac{4h}{3}\mathrm{.}$$また$$\mathrm{\mid }OF\mathrm{\mid }=\frac{3}{8}\mathrm{\mid }\overrightarrow{a}\mathrm{\mid }=\frac{3}{2},\mathrm{\mid }OH\mathrm{\mid }=\frac{7}{12}\mathrm{\mid }\overrightarrow{a}\mathrm{\mid }=\frac{7}{3}$$であるから，$B$ から直線 $DE$ までの距離は$$\mathrm{\mid }FH\mathrm{\mid }=\frac{7}{3}-\frac{3}{2}=\frac{5}{6}$$である。したがって$$[\mathrm{△}BDE]=\frac{1}{2}\cdot \frac{4h}{3}\cdot \frac{5}{6}=\frac{5h}{9}\mathrm{.}$$これが $5\mathrm{/}9$ なので $h=1$ である。直角三角形 $OFB$ により$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{b}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }OF{\mathrm{\mid }}^2+h^2={\left(\frac{3}{2}\right)}^2+1^2=\frac{13}{4}\mathrm{.}$$よって$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{b}\mathrm{\mid }=\frac{\sqrt{13}}{2}$$である。