北海道大学 2021年度理系数学前期第4問解答・解説

問題

$a_{1} = 2$ ， $b_{1} = 1$ および

a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3 b_{n}, b_{n + 1} = a_{n} + 2 b_{n} (n = 1, 2, 3, \dots)

で定められた数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ がある。 $c_{n} = a_{n} b_{n}$ とおく。

(1) $c_{2}$ を求めよ。

(2) $c_{n}$ は偶数であることを示せ。

(3) $n$ が偶数のとき， $c_{n}$ は28で割り切れることを示せ。

出典：北海道大学 2021年度前期日程第2次学力試験理系前期第4問

方針

解法1（法ごとの周期を調べる方法）

(1) は漸化式に直接代入する。(2) は $2$ で割った余りを追うと， $(a_{n}, b_{n})$ の偶奇が入れ替わるため，常に少なくとも一方が偶数であることが分かる。(3) は $n$ が偶数のときに $4 ∣ b_{n}$ と $7 ∣ a_{n} b_{n}$ を別々に示す。 $4$ と $7$ は互いに素なので，合同式の周期表を用いて両方の割り切れを確認する。

解法2（2項先の積を直接結ぶ方法）

(1)(2) は直接計算と偶奇で処理する。(3) では漸化式を2回適用して $a_{n + 2}, b_{n + 2}$ を $a_{n}, b_{n}$ で表す。その積を展開すると $c_{n + 2} - 97 c_{n}$ が28の倍数になり，偶数番目の項がすべて $c_{2}$ と同じ余りをもつことが分かる。

解答

解法1（法ごとの周期を調べる方法）

(1)

漸化式より $a_{2} = 2 a_{1} + 3 b_{1} = 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 = 7$ であり， $b_{2} = a_{1} + 2 b_{1} = 2 + 2 \cdot 1 = 4$ である。したがって $c_{2} = a_{2} b_{2} = 7 \cdot 4 = 28$ である。

(2)

$2$ で割った余りを考える。漸化式から $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3 b_{n} \equiv b_{n} (mod 2)$ であり， $b_{n + 1} = a_{n} + 2 b_{n} \equiv a_{n} (mod 2)$ である。初期値は $(a_{1}, b_{1}) \equiv (0, 1) (mod 2)$ なので，次の項では $(1, 0)$ ，さらに次では $(0, 1)$ に戻る。したがって任意の $n$ について， $a_{n}, b_{n}$ の一方は偶数，もう一方は奇数である。よって $c_{n} = a_{n} b_{n}$ は偶数である。

(3)

まず $4$ で割った余りを調べる。漸化式を用いると $(a_{n}, b_{n}) \equiv (2, 1), (3, 0), (2, 3), (1, 0) (mod 4)$ をこの順に繰り返す。実際， $(1, 0)$ の次は $(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0, 1 + 2 \cdot 0) \equiv (2, 1) (mod 4)$ となり初めに戻る。したがって $n$ が偶数のときは常に $b_{n} \equiv 0 (mod 4)$ である。よって $4 ∣ c_{n}$ である。

次に $7$ で割った余りを調べる。同じく漸化式で順に計算すると

n (mod 8) (a_{n}, b_{n}) 1 (2, 1) 2 (0, 4) 3 (5, 1) 4 (6, 0) 5 (5, 6) 6 (0, 3) 7 (2, 6) 0 (1, 0) (mod 7)

となる。最後の $(1, 0)$ の次は $(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0, 1 + 2 \cdot 0) \equiv (2, 1) (mod 7)$ であるから，この表は周期的に繰り返される。表を見ると， $n$ が偶数のときは $a_{n}$ または $b_{n}$ の少なくとも一方が $7$ の倍数である。したがって $7 ∣ c_{n}$ である。

以上より， $n$ が偶数のとき $c_{n}$ は $4$ と $7$ の両方で割り切れる。 $4$ と $7$ は互いに素なので， $28 ∣ c_{n}$ である。

解法2（2項先の積を直接結ぶ方法）

(1)

a_{2} = 7, b_{2} = 4

であるから

c_{2} = 28

である。

(2)

漸化式を $2$ で見ると

a_{n + 1} \equiv b_{n}, b_{n + 1} \equiv a_{n} (mod 2) .

初期状態は $(a_{1}, b_{1}) \equiv (0, 1) (mod 2)$ なので， $(0, 1)$ と $(1, 0)$ を交互に取る。したがって常に一方が偶数であり， $c_{n} = a_{n} b_{n}$ は偶数である。

(3)

漸化式をもう一度用いると

a_{n + 2} b_{n + 2} = 2 (2 a_{n} + 3 b_{n}) + 3 (a_{n} + 2 b_{n}) = 7 a_{n} + 12 b_{n}, = (2 a_{n} + 3 b_{n}) + 2 (a_{n} + 2 b_{n}) = 4 a_{n} + 7 b_{n} .

よって

c_{n + 2} = (7 a_{n} + 12 b_{n}) (4 a_{n} + 7 b_{n}) = 28 a_{n}^{2} + 97 a_{n} b_{n} + 84 b_{n}^{2} = 97 c_{n} + 28 (a_{n}^{2} + 3 b_{n}^{2}) .

したがって

c_{n + 2} \equiv 97 c_{n} \equiv 13 c_{n} (mod 28) .

ここで $c_{2} = 28 \equiv 0 (mod 28)$ である。上の関係を $n = 2, 4, 6, \dots$ と順に用いれば，すべての正の整数 $m$ について

c_{2 m} \equiv 0 (mod 28)

となる。ゆえに $n$ が偶数なら $c_{n}$ は28で割り切れる。

北海道大学 2021年度理系数学 前期 第4問

問題

方針

解法1（法ごとの周期を調べる方法）

解法2（2項先の積を直接結ぶ方法）

解答

解法1（法ごとの周期を調べる方法）

(1)

(2)

(3)

解法2（2項先の積を直接結ぶ方法）

(1)

(2)

(3)

北海道大学 2021年度
理系数学前期第4問