北海道大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)

漸化式より $$a_2=2a_1+3b_1=2\cdot 2+3\cdot 1=7$$ であり，$$b_2=a_1+2b_1=2+2\cdot 1=4$$ である。したがって $c_2=a_2{b}_2=7\cdot 4=28$ である。

(2) $2$ で割った余りを考える。漸化式から $$a_{n+1}=2a_n+3b_n\equiv b_n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)$$ であり，$$b_{n+1}=a_n+2b_n\equiv a_n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)$$ である。初期値は $$(a_1,b_1)\equiv (0,1)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)$$ なので，次の項では $(1,0)$，さらに次では $(0,1)$ に戻る。したがって任意の $n$ について，$a_n,b_n$ の一方は偶数，もう一方は奇数である。よって $c_n=a_n{b}_n$ は偶数である。

(3)

まず $4$ で割った余りを調べる。漸化式を用いると $$(a_n,b_n)\equiv (2,1),(3,0),(2,3),(1,0)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$$ をこの順に繰り返す。実際，$(1,0)$ の次は $$(2\cdot 1+3\cdot 0,1+2\cdot 0)\equiv (2,1)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$$ となり初めに戻る。したがって $n$ が偶数のときは常に $b_n\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ である。よって $4\mid c_n$ である。

次に $7$ で割った余りを調べる。同じく漸化式で順に計算すると$$\begin{array}{ccccccccc}n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8)& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 0\\ (a_n,b_n)& (2,1)& (0,4)& (5,1)& (6,0)& (5,6)& (0,3)& (2,6)& (1,0)\end{array}(<mrow><mi\; mathvariant="normal">m</mi><mi\; mathvariant="normal">o</mi><mi\; mathvariant="normal">d</mi></mrow>7)$$となる。最後の $(1,0)$ の次は $$(2\cdot 1+3\cdot 0,1+2\cdot 0)\equiv (2,1)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$$ であるから，この表は周期的に繰り返される。表を見ると，$n$ が偶数のときは $a_n$ または $b_n$ の少なくとも一方が $7$ の倍数である。したがって $7\mid c_n$ である。

以上より，$n$ が偶数のとき $c_n$ は $4$ と $7$ の両方で割り切れる。$4$ と $7$ は互いに素なので，$28\mid c_n$ である。

(1) (2) は直接計算と偶奇で処理する。(3) では漸化式を2回適用して $a_{n+2},b_{n+2}$ を $a_n,b_n$ で表す。その積を展開すると $c_{n+2}-97c_n$ が28の倍数になり，偶数番目の項がすべて $c_2$ と同じ余りをもつことが分かる。

(1) $$a_2=7,b_2=4$$であるから$$c_2=28$$である。

(2)
漸化式を $2$ で見ると$$a_{n+1}\equiv b_n,b_{n+1}\equiv a_n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)\mathrm{.}$$初期状態は $$(a_1,b_1)\equiv (0,1)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)$$ なので，$(0,1)$ と $(1,0)$ を交互に取る。したがって常に一方が偶数であり，$c_n=a_n{b}_n$ は偶数である。

(3)
漸化式をもう一度用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_{n+2}}& {\displaystyle =2(2a_n+3b_n)+3(a_n+2b_n)=7a_n+12b_n,}\\ {\displaystyle b_{n+2}}& {\displaystyle =(2a_n+3b_n)+2(a_n+2b_n)=4a_n+7b_n\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle c_{n+2}}& {\displaystyle =(7a_n+12b_n)(4a_n+7b_n)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =28a_n^2+97a_n{b}_n+84b_n^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =97c_n+28(a_n^2+3b_n^2)\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$c_{n+2}\equiv 97c_n\equiv 13c_n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}28)\mathrm{.}$$ここで $c_2=28\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}28)$ である。上の関係を $n=2,4,6,\dots$ と順に用いれば，すべての正の整数 $m$ について$$c_{2m}\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}28)$$となる。ゆえに $n$ が偶数なら $c_n$ は28で割り切れる。