北海道大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1) $y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$ の導関数は $y^{\mathrm{\prime }}=x$ である。したがって $x=t$ における接線は $$y-\frac{t^2}{2}=t(x-t)$$ すなわち $$y=tx-\frac{t^2}{2}$$ である。

点 $A$ は $t=-1$ に対応するから $l_1:y=-x-\frac{1}{2}$ である。また点 $B$ は $t=a+2$ に対応するから $$l_2:y=(a+2)x-\frac{(a+2{)}^2}{2}$$ である。交点 $C$ では $$-x-\frac{1}{2}=(a+2)x-\frac{(a+2{)}^2}{2}$$ だから $$(a+3)x=\frac{(a+2{)}^2-1}{2}=\frac{(a+1)(a+3)}{2}$$ である。$a\mathrm{\ne }-3$ より $$x=\frac{a+1}{2}$$ であり，これを $l_1$ に代入して $$y=-\frac{a+1}{2}-\frac{1}{2}=-\frac{a+2}{2}$$ を得る。したがって $$C=(\frac{a+1}{2},-\frac{a+2}{2})$$ である。

(2) $$A=(-1,\frac{1}{2}),B=(a+2,\frac{(a+2{)}^2}{2})$$ であるから$$\overrightarrow{AB}=(a+3,\frac{(a+2{)}^2-1}{2})=(a+3,\frac{(a+1)(a+3)}{2})$$である。よって$$\mathrm{\mid }AB{\mathrm{\mid }}^2=(a+3{)}^2\{1+\frac{(a+1{)}^2}{4}\}=\frac{(a+3{)}^2(a^2+2a+5)}{4}$$である。

また$$\overrightarrow{BC}=(\frac{a+1}{2}-(a+2),-\frac{a+2}{2}-\frac{(a+2{)}^2}{2})=(-\frac{a+3}{2},-\frac{(a+2)(a+3)}{2})$$である。したがって $$\mathrm{\mid }BC{\mathrm{\mid }}^2=\frac{(a+3{)}^2}{4}\{1+(a+2{)}^2\}=\frac{(a+3{)}^2(a^2+4a+5)}{4}$$ である。 $a>0$ では $a+3\mathrm{\ne }0$ なので，$${\left(\frac{\mathrm{\mid }AB\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }BC\mathrm{\mid }}\right)}^2=\frac{a^2+2a+5}{a^2+4a+5}$$ となる。この関数を $R(a)$ とおく。分母は常に正であり，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle R^{\mathrm{\prime }}(a)}& {\displaystyle =\frac{(2a+2)(a^2+4a+5)-(a^2+2a+5)(2a+4)}{(a^2+4a+5{)}^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{2(a^2-5)}{(a^2+4a+5{)}^2}}\end{array}$$である。したがって $0<a<\sqrt{5}$ では $R^{\mathrm{\prime }}(a)<0$，$a>\sqrt{5}$ では $R^{\mathrm{\prime }}(a)>0$ となる。よって $R(a)$，したがって ${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }AB\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }BC\mathrm{\mid }}}$ が最小となるのは $a=\sqrt{5}$ のときである。

接線の交点と距離比の式までは成分計算で求める。距離比の2乗を $1$ から正の項を引く形にし，その項の分母を $a+4+5\mathrm{/}a$ と変形する。相加相乗平均により微分せず等号条件を決める。

(1)
$x=t$ における接線は$$y=tx-\frac{t^2}{2}$$である。$t=-1,a+2$ を代入した2直線を連立すると$$C=(\frac{a+1}{2},-\frac{a+2}{2})$$を得る。

(2)
成分から距離の2乗を計算すると$$\mathrm{\mid }AB{\mathrm{\mid }}^2=\frac{(a+3{)}^2(a^2+2a+5)}{4},\mathrm{\mid }BC{\mathrm{\mid }}^2=\frac{(a+3{)}^2(a^2+4a+5)}{4}\mathrm{.}$$$a>0$ なので $a+3\mathrm{\ne }0$ であり，距離比の2乗は$$R={\left(\frac{\mathrm{\mid }AB\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }BC\mathrm{\mid }}\right)}^2=\frac{a^2+2a+5}{a^2+4a+5}=1-\frac{2a}{a^2+4a+5}\mathrm{.}$$したがって $R$ を最小にするには$$\frac{2a}{a^2+4a+5}=\frac{2}{a+4+\frac{5}{a}}$$を最大にすればよい。$a>0$ だから，相加相乗平均により$$a+\frac{5}{a}\geqq 2\sqrt{5}$$であり，等号は $a=\sqrt{5}$ のときに成り立つ。よって分母が最小，したがって上の分数が最大となるのは$$a=\sqrt{5}$$のときである。正の平方根を取る操作は大小関係を保つので，元の距離比も同じ $a$ で最小になる。