問題
をを満たす定数とする。放物線上の点における接線を，点における接線をとする。との交点をとおく。
(1) の座標をを用いて表せ。
(2) がを満たしながら動くとき，が最小となるときのの値を求めよ。ただし，およびはそれぞれ線分と線分の長さを表す。
方針
解法1（距離比の2乗を微分する方法）
放物線 の における接線を一般形で書き， と を代入して2本の接線を得る。交点 は連立で求める。距離比は正なので， の代わりに2乗を最小化する。 と の成分には共通因子 が出るが， なので比では消える。最後は有理関数を微分して増減を判定する。
解法2（相加相乗平均で距離比を評価する方法）
接線の交点と距離比の式までは成分計算で求める。距離比の2乗を から正の項を引く形にし，その項の分母を と変形する。相加相乗平均により微分せず等号条件を決める。
解答
解法1（距離比の2乗を微分する方法）
(1)
の導関数は である。したがって における接線は すなわち である。
点 は に対応するから である。また点 は に対応するから である。交点 では だから である。 より であり，これを に代入して を得る。したがって である。
(2)
であるから
である。よって
である。
また
である。したがって である。 では なので， となる。この関数を とおく。分母は常に正であり，
である。したがって では ， では となる。よって ，したがって が最小となるのは のときである。
解法2（相加相乗平均で距離比を評価する方法）
(1)
における接線は
である。 を代入した2直線を連立すると
を得る。
(2)
成分から距離の2乗を計算すると
なので であり，距離比の2乗は
したがって を最小にするには
を最大にすればよい。 だから，相加相乗平均により
であり，等号は のときに成り立つ。よって分母が最小，したがって上の分数が最大となるのは
のときである。正の平方根を取る操作は大小関係を保つので，元の距離比も同じ で最小になる。