北海道大学 2021年度理系数学前期第5問解答・解説

問題

座標平面上で，媒介変数 $θ$ を用いて

x = (1 + cos θ) cos θ, y = sin θ (0 ≦ θ ≦ π)

と表される曲線 $C$ がある。 $C$ 上の点で $x$ 座標の値が最小になる点を $A$ とし， $A$ の $x$ 座標の値を $a$ とおく。 $B$ を点 $(a, 0)$ ， $O$ を原点 $(0, 0)$ とする。

(1) $a$ を求めよ。

(2) 線分 $A B$ と線分 $O B$ と $C$ で囲まれた部分の面積を求めよ。

出典：北海道大学 2021年度前期日程第2次学力試験理系前期第5問

方針

解法1（媒介変数のまま面積を積分する方法）

$x$ 座標は $u = cos θ$ とおくと $u^{2} + u$ になるので， $- 1 ≦ u ≦ 1$ で最小化する。面積は，点 $A$ から $O$ までの曲線部分と， $x = a$ ， $x$ 軸で囲まれる部分であり， $2 π /3 ≦ θ ≦ π$ では $x$ が $a$ から $0$ へ増加する。したがって面積積分を媒介変数で書き，符号を確認しながら積分する。

解法2（余弦を変数にして面積を積分する方法）

$u = cos θ$ とおき，曲線を $x = u^{2} + u$ ， $y = 1 - u^{2}$ と見る。最小点から原点まででは $u$ が $- 1/2$ から $- 1$ へ動くので，向きを保ったまま面積積分を $u$ で表す。

解答

解法1（媒介変数のまま面積を積分する方法）

(1)

$x = (1 + cos θ) cos θ = cos^{2} θ + cos θ$ である。 $u = cos θ$ とおくと， $0 ≦ θ ≦ π$ より $- 1 ≦ u ≦ 1$ であり， $x = u^{2} + u = (u + \frac{1}{2})^{2} - \frac{1}{4}$ である。したがって最小値は $u = - \frac{1}{2}$ のとき $a = - \frac{1}{4}$ である。このとき $cos θ = - \frac{1}{2}$ だから，対応する $θ$ は $θ = \frac{2 π}{3}$ である。

(2)

(1) より

A = (- \frac{1}{4}, \frac{3}{2}), B = (- \frac{1}{4}, 0)

である。曲線は $θ = \frac{2 π}{3}$ で $A$ を通り， $θ = π$ で $(x, y) = (0, 0) = O$ を通る。

また

\frac{d x}{d θ} = \frac{d}{d θ} (cos^{2} θ + cos θ) = - sin θ (1 + 2 cos θ)

である。 $\frac{2 π}{3} < θ < π$ では $sin θ > 0$ ， $1 + 2 cos θ < 0$ なので $\frac{d x}{d θ} > 0$ である。したがってこの範囲で $x$ は $a$ から $0$ まで増加する。求める面積 $S$ は

S = \int_{\frac{2 π}{3}}^{π} y \frac{d x}{d θ} d θ

で表される。

ここで $y = sin θ$ だから

S = \int_{\frac{2 π}{3}}^{π} sin θ {- sin θ (1 + 2 cos θ)} d θ = - \int_{\frac{2 π}{3}}^{π} sin^{2} θ (1 + 2 cos θ) d θ .

右辺を2つに分けると

S = - \int_{\frac{2 π}{3}}^{π} sin^{2} θ d θ - 2 \int_{\frac{2 π}{3}}^{π} sin^{2} θ cos θ d θ

である。まず

\int sin^{2} θ d θ = \frac{θ}{2} - \frac{sin 2 θ}{4}

より

\int_{\frac{2 π}{3}}^{π} sin^{2} θ d θ = \frac{π}{6} - \frac{3}{8}

である。また $u = sin θ$ とおくと

2 \int_{\frac{2 π}{3}}^{π} sin^{2} θ cos θ d θ = \frac{2}{3} [sin^{3} θ]_{\frac{2 π}{3}}^{π} = - \frac{3}{4}

である。したがって

S = - (\frac{π}{6} - \frac{3}{8}) - (- \frac{3}{4}) = \frac{3 3}{8} - \frac{π}{6}

である。

解法2（余弦を変数にして面積を積分する方法）

(1)

$u = cos θ$ とおくと $- 1 ≦ u ≦ 1$ であり，

x = u^{2} + u = (u + \frac{1}{2})^{2} - \frac{1}{4} .

よって $u = - 1/2$ のとき最小となり，

a = - \frac{1}{4}

である。

(2)

点 $A$ から原点 $O$ までの曲線部分では， $u$ は $- 1/2$ から $- 1$ へ動く。また

y = 1 - u^{2}, d x = (2 u + 1) d u .

したがって求める面積 $S$ は

S = \int_{- 1/2}^{- 1} 1 - u^{2} (2 u + 1) d u .

原始関数は

- \frac{2}{3} (1 - u^{2})^{3/2} + \frac{1}{2} (u 1 - u^{2} + sin^{- 1} u)

であるから，

S = [- \frac{2}{3} (1 - u^{2})^{3/2} + \frac{1}{2} (u 1 - u^{2} + sin^{- 1} u)]_{- 1/2}^{- 1} = - \frac{π}{4} - (- \frac{3 3}{8} - \frac{π}{12}) = \frac{3 3}{8} - \frac{π}{6} .

北海道大学 2021年度理系数学 前期 第5問

問題

方針

解法1（媒介変数のまま面積を積分する方法）

解法2（余弦を変数にして面積を積分する方法）

解答

解法1（媒介変数のまま面積を積分する方法）

(1)

(2)

解法2（余弦を変数にして面積を積分する方法）

(1)

(2)

北海道大学 2021年度
理系数学前期第5問