北海道大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) $$x=(1+\cos \theta )\cos \theta ={\cos }^2\theta +\cos \theta$$ である。$u=\cos \theta$ とおくと，$0\leqq \theta \leqq \pi$ より $-1\leqq u\leqq 1$ であり，$$x=u^2+u={(u+\frac{1}{2})}^2-\frac{1}{4}$$ である。したがって最小値は $u=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ のとき $a=-\frac{1}{4}$ である。このとき $\cos \theta =-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ だから，対応する $\theta$ は $$\theta =\frac{2\pi }{3}$$ である。

(2)

(1) より$$A=(-\frac{1}{4},\frac{\sqrt{3}}{2}),B=(-\frac{1}{4},0)$$である。曲線は $$\theta ={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$$ で $A$ を通り，$\theta =\pi$ で $(x,y)=(0,0)=O$ を通る。

また$$\frac{dx}{d\theta }=\frac{d}{d\theta }({\cos }^2\theta +\cos \theta )=-\sin \theta (1+2\cos \theta )$$である。$${\displaystyle \frac{2\pi }{3}}<\theta <\pi$$ では $\sin \theta >0$，$1+2\cos \theta <0$ なので $$\frac{dx}{d\theta }>0$$ である。したがってこの範囲で $x$ は $a$ から $0$ まで増加する。求める面積 $S$ は$$S={\int }_{\frac{2\pi }{3}}^{\pi }y\frac{dx}{d\theta }d\theta$$で表される。

ここで $y=\sin \theta$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_{\frac{2\pi }{3}}^{\pi }\sin \theta \{-\sin \theta (1+2\cos \theta )\}d\theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\int }_{\frac{2\pi }{3}}^{\pi }{\sin }^2\theta (1+2\cos \theta )d\theta \mathrm{.}}\end{array}$$右辺を2つに分けると$$S=-{\int }_{\frac{2\pi }{3}}^{\pi }{\sin }^2\theta d\theta -2{\int }_{\frac{2\pi }{3}}^{\pi }{\sin }^2\theta \cos \theta d\theta$$である。まず$$\int {\sin }^2\theta d\theta =\frac{\theta }{2}-\frac{\sin 2\theta }{4}$$より$${\int }_{\frac{2\pi }{3}}^{\pi }{\sin }^2\theta d\theta =\frac{\pi }{6}-\frac{\sqrt{3}}{8}$$である。また $u=\sin \theta$ とおくと$$2{\int }_{\frac{2\pi }{3}}^{\pi }{\sin }^2\theta \cos \theta d\theta =\frac{2}{3}{\left[{\sin }^3\theta \right]}_{\frac{2\pi }{3}}^{\pi }=-\frac{\sqrt{3}}{4}$$である。したがって$$S=-(\frac{\pi }{6}-\frac{\sqrt{3}}{8})-(-\frac{\sqrt{3}}{4})=\frac{3\sqrt{3}}{8}-\frac{\pi }{6}$$である。

$u=\cos \theta$ とおき，曲線を $x=u^2+u$，$y=\sqrt{1-u^2}$ と見る。最小点から原点まででは $u$ が $-1\mathrm{/}2$ から $-1$ へ動くので，向きを保ったまま面積積分を $u$ で表す。

(1)
$u=\cos \theta$ とおくと $-1\leqq u\leqq 1$ であり，$$x=u^2+u={(u+\frac{1}{2})}^2-\frac{1}{4}\mathrm{.}$$よって $u=-1\mathrm{/}2$ のとき最小となり，$$a=-\frac{1}{4}$$である。

(2)
点 $A$ から原点 $O$ までの曲線部分では，$u$ は $-1\mathrm{/}2$ から $-1$ へ動く。また$$y=\sqrt{1-u^2},dx=(2u+1)du\mathrm{.}$$したがって求める面積 $S$ は$$S={\int }_{-1\mathrm{/}2}^{-1}\sqrt{1-u^2}(2u+1)du\mathrm{.}$$ここで $u=-\cos v$ とおく。$u=-1\mathrm{/}2,-1$ はそれぞれ $v=\pi \mathrm{/}3,0$ に対応し，$du=\sin vdv$ であるから，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_{\pi \mathrm{/}3}^0{\sin }^{2}v(1-2\cos v)dv}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\int }_0^{\pi \mathrm{/}3}{\sin }^{2}vdv+2{\int }_0^{\pi \mathrm{/}3}{\sin }^{2}v\cos vdv}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{[\frac{v}{2}-\frac{\sin 2v}{4}]}_0^{\pi \mathrm{/}3}+\frac{2}{3}{\left[{\sin }^{3}v\right]}_0^{\pi \mathrm{/}3}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-\frac{\pi }{6}+\frac{\sqrt{3}}{8}+\frac{\sqrt{3}}{4}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{3\sqrt{3}}{8}-\frac{\pi }{6}\mathrm{.}}\end{array}$$