北海道大学 2025年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) $f(x)=3\mathrm{/}5$は$$25x^2-25x+6=0$$と同値である。左辺は$(5x-2)(5x-3)$だから$$x=\frac{2}{5},\frac{3}{5}\mathrm{.}$$(2) $$f(x)-\frac{3}{5}=-\frac{5}{2}(x-\frac{3}{5})(x-\frac{2}{5})\mathrm{.}$$三角不等式から$$\mid x-\frac{2}{5}\mid =\mid x-\frac{3}{5}+\frac{1}{5}\mid \le \mid x-\frac{3}{5}\mid +\frac{1}{5}\mathrm{.}$$これを因数分解した式の絶対値へ代入すれば，求める不等式が得られる。

(3) 数学的帰納法で示す。$n=1$では$$\mid a_1-\frac{3}{5}\mid \le \frac{1}{16}=\frac{1}{12}\left(\frac{3}{4}\right)$$なので成り立つ。
ある$n\ge 1$で成り立つとすると$$\mid a_n-\frac{3}{5}\mid \le \frac{1}{12}{\left(\frac{3}{4}\right)}^n\le \frac{1}{16}\mathrm{.}$$(2)により$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mid a_{n+1}-\frac{3}{5}\mid }& {\displaystyle \le \frac{5}{2}(\frac{1}{16}+\frac{1}{5})\mid a_n-\frac{3}{5}\mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \le \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{12}{\left(\frac{3}{4}\right)}^n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{12}{\left(\frac{3}{4}\right)}^{n+1}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって，すべての自然数$n$について成り立つ。

差の漸化式によるさらに強い評価と収束。

$e_n=a_n-3\mathrm{/}5$とおくと$$e_{n+1}=-\frac{1}{2}{e}_n-\frac{5}{2}{e}_n^2\mathrm{.}$$$\mathrm{\mid }{e}_n\mathrm{\mid }\le 1\mathrm{/}16$なら$$\mathrm{\mid }{e}_{n+1}\mathrm{\mid }\le (\frac{1}{2}+\frac{5}{2}\cdot \frac{1}{16})\mathrm{\mid }{e}_n\mathrm{\mid }=\frac{21}{32}\mathrm{\mid }{e}_n\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$初項から帰納的に$\mathrm{\mid }{e}_n\mathrm{\mid }\le (1\mathrm{/}16)(21\mathrm{/}32{)}^{n-1}$が得られる。
これは問題で求める評価よりも強く，$a_n\to 3\mathrm{/}5$も従う。

漸化式の固定点を代入して差を取ると，複雑な反復計算が差の評価へ変わる。
小さい差が次の項でも小さく保たれることを，係数の数値とともに確認する。