北海道大学 2025年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1) $f(\theta )=\cos \theta (1-1\mathrm{/}(2\sin \theta ))$は与えられた区間で非負であり，
$f(\pi \mathrm{/}6)=f(\pi \mathrm{/}2)=0$である。よって$$\text{最小値 }0,\theta =\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2}\mathrm{.}$$また$$f^{\mathrm{\prime }}(\theta )=\frac{1}{2{\sin }^2\theta }-\sin \theta =\frac{1-2{\sin }^3\theta }{2{\sin }^2\theta }\mathrm{.}$$$\sin \theta =2^{-1\mathrm{/}3}$となる点で，$f^{\mathrm{\prime }}$は正から負へ変わる。
したがって最大値は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sqrt{1-2^{-2\mathrm{/}3}}(1-2^{-2\mathrm{/}3})}& {\displaystyle =(1-2^{-2\mathrm{/}3}{)}^{3\mathrm{/}2}\mathrm{.}}\end{array}$$(2) $a^2+b^2=1$，$a\ge 1\mathrm{/}2$，$b\ge 0$より$$a=\sin \theta ,b=\cos \theta ,\frac{\pi }{6}\le \theta \le \frac{\pi }{2}$$と表せる。共有点の$x$座標を$X$とすると，線分の内分から$$X=b(1-\frac{1}{2a})=\cos \theta (1-\frac{1}{2\sin \theta })\mathrm{.}$$逆に，この区間の任意の$\theta$から条件を満たす$P,Q$が得られる。
この式は連続であり，(1)の両端の値と最大値の間をすべてとるので，範囲は$$0\le X\le (1-2^{-2\mathrm{/}3}{)}^{3\mathrm{/}2}\mathrm{.}$$

高さをそのまま変数にして微分する方法。

(2) では$b=\sqrt{1-a^2}$（$1\mathrm{/}2\le a\le 1$）だから$$X(a)=\sqrt{1-a^2}(1-\frac{1}{2a})\mathrm{.}$$$1\mathrm{/}2<a<1$で微分すると$$X^{\mathrm{\prime }}(a)=\frac{1-2a^3}{2a^2\sqrt{1-a^2}}\mathrm{.}$$したがって$a=2^{-1\mathrm{/}3}$で最大となる。両端の値は0なので，主解と同じ範囲を得る。

三角関数の置換は単位円の条件を簡単にする。
高さをそのまま変数にする別解では平方根が現れるが，微分の符号は同じ三次式で決まる。