北海道大学 2025年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

$p=\tan \alpha >0$とおく。方程式へ代入すると$$m=-(p^3+\frac{27}{p^3})\mathrm{.}$$相加相乗平均より$p^3+27\mathrm{/}{p}^3\ge 2\sqrt{27}=6\sqrt{3}$だから$$m\le -6\sqrt{3}\mathrm{.}$$等号は$p^3=3\sqrt{3}$，すなわち$p=\sqrt{3}$で成立する。
このとき元の方程式は$(x^3-3\sqrt{3}{)}^2=0$なので，正の実数解は$\sqrt{3}$だけである。
よって$$\alpha =\frac{\pi }{3},\beta =\frac{\pi }{6}\mathrm{.}$$$p=\tan \alpha$，$q=3\tan \beta$とおく。
$p\mathrm{\ne }q$かつ$p,q>0$なので，$p^3,q^3$は
$t^2+mt+27=0$の相異なる二根である。
解と係数の関係から$p^3{q}^3=27$，したがって$pq=3$。
よって$\tan \alpha \tan \beta =1$である。
$\tan \alpha =\tan (\pi \mathrm{/}2-\beta )$と鋭角の範囲での単調性から$$\alpha +\beta =\frac{\pi }{2}\mathrm{.}$$(2)より$S=2{\sin }^2\alpha$である。
$0<\alpha <\pi \mathrm{/}2$だから$0<S<2$。
また$p\mathrm{\ne }q=3\mathrm{/}p$は$p^2\mathrm{\ne }3$と同値であり，
$\alpha \mathrm{\ne }\pi \mathrm{/}3$，すなわち$S\mathrm{\ne }3\mathrm{/}2$となる。

逆に$0<\alpha <\pi \mathrm{/}2$，$\alpha \mathrm{\ne }\pi \mathrm{/}3$を任意にとり，
$\beta =\pi \mathrm{/}2-\alpha$，$p=\tan \alpha$，$m=-(p^3+27\mathrm{/}{p}^3)$とする。
このとき$p$と$3\mathrm{/}p=3\tan \beta$は元の方程式の相異なる解となる。
したがって，求める範囲は$$0<S<\frac{3}{2}\text{または}\frac{3}{2}<S<2.$$

正の根の存在を判別式で調べる方法。

$t=x^3>0$とおくと，$t^2+mt+27=0$に正の根がある。
もう一つの根も積が27なので正であり，和が$-m>0$，判別式が$m^2-108\ge 0$となる。
したがって$m\le -6\sqrt{3}$を得る。
等号では二根が$3\sqrt{3}$に重なり，主解と同じ角度が得られる。

(3) で除く$S=3\mathrm{/}2$は，この重根の場合に対応する。
根が異なる条件が，値域の内部にある一つの値を除くことにつながっている。