北海道大学 2026年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1) $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-4x=x(3x-4)$ である。したがって、$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ となるのは $x=0,x=\frac{4}{3}$ である。

導関数の符号を調べると、$x<0$ で $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$、$0<x<\frac{4}{3}$ で $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$、$x>\frac{4}{3}$ で $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ である。よって $x=0$ で極大、$x=\frac{4}{3}$ で極小となる。それぞれの値は $f(0)=0,$ $$f\left(\frac{4}{3}\right)={\left(\frac{4}{3}\right)}^3-2{\left(\frac{4}{3}\right)}^2=\frac{64}{27}-\frac{32}{9}=-\frac{32}{27}$$である。したがって極大値は $0$、極小値は $-{\displaystyle \frac{32}{27}}$ である。

(2) $0\leqq x\leqq a$ に含まれる極値候補は $x=0$ と $x=\frac{4}{3}$ であり、端点 $x=a$ も比較する。各値は$$f(0)=0,f\left(\frac{4}{3}\right)=-\frac{32}{27},f(a)=a^3-2a^2=a^2(a-2)$$である。ここで $a>2$ より $a^2(a-2)>0$ であるから、$f(a)>f(0)>f(\frac{4}{3})$ となる。

よって $0\leqq x\leqq a$ における最大値は $a^3-2a^2$ である。

(3) $f(x)=x^3-2x^2=x^2(x-2)$ であり、$x^2\geqq 0$ だから、$0\leqq x\leqq 2$ では $f(x)\leqq 0$、$2\leqq x\leqq a$ では $f(x)\geqq 0$ である。$a>2$ なので、絶対値を外すと $${\int }_0^a\mathrm{\mid }f(x)\mathrm{\mid }dx=-{\int }_0^{2}f(x)dx+{\int }_2^{a}f(x)dx$$ となる。

原始関数を $$F(x)=\int f(x)dx=\frac{x^4}{4}-\frac{2x^3}{3}$$ とおくと、$$F(0)=0,F(2)=\frac{16}{4}-\frac{16}{3}=-\frac{4}{3}$$ である。したがって $$-{\int }_0^{2}f(x)dx=-(F(2)-F(0))=\frac{4}{3},$$ $${\int }_2^{a}f(x)dx=F(a)-F(2)=\frac{a^4}{4}-\frac{2a^3}{3}+\frac{4}{3}\mathrm{.}$$ ゆえに $${\int }_0^a\mathrm{\mid }f(x)\mathrm{\mid }dx=\frac{a^4}{4}-\frac{2a^3}{3}+\frac{8}{3}$$ である。