北海道大学 2026年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) $x>0$において$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)-g(x)}& {\displaystyle =\frac{-x^4+4x^3-16x+16}{2x^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-\frac{(x-2{)}^3(x+2)}{2x^2}\mathrm{.}}\end{array}$$$x+2>0$，$2x^2>0$だから，$f(x)\ge g(x)$は$x\le 2$と同値である。
したがって，求める範囲は$$0<x\le 2.$$(2) $h(x)=f(x)-g(x)$とおき，その原始関数を$$H(x)=x^2-\frac{x^3}{6}-\frac{8}{x}-8\log x$$とする。(1)の符号を使うと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_1^4\mathrm{\mid }h(x)\mathrm{\mid }dx}& {\displaystyle ={\int }_1^{2}h(x)dx-{\int }_2^{4}h(x)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2H(2)-H(1)-H(4)\mathrm{.}}\end{array}$$ここで$$H(1)=-\frac{43}{6},H(2)=-\frac{4}{3}-8\log 2,$$$$H(4)=\frac{10}{3}-16\log 2$$だから，求める値は$$\frac{7}{6}\mathrm{.}$$

差の微分による大小関係の確認。

$h=f-g$とおくと$$h^{\mathrm{\prime }}(x)=2-x+\frac{8}{x^2}-\frac{16}{x^3}=-\frac{(x-2{)}^2(x^2+2x+4)}{x^3}\mathrm{.}$$$x>0$では$h^{\mathrm{\prime }}(x)\le 0$であり，$x=2$以外では$h^{\mathrm{\prime }}(x)<0$である。
したがって$h$は単調に減少し，$h(2)=0$より，(1)と同じ大小関係を得る。

因数分解による主解は，差の符号を直接判断できる。微分による方法は，
差のグラフが一度だけ0を横切ることを確かめる見方である。
$h^{\mathrm{\prime }}(2)=0$でも，その前後で$h$の符号が変わることに注意したい。