北海道大学 2026年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1) $2^{10}=1024>1000={10}^3$である。
常用対数は単調に増加するから$$10{\log }_{10}2>3.$$よって$$0.3<{\log }_{10}2.$$(2) 与えられた不等式は$$2^3\cdot {1100}^2<{10}^n$$と同値であり，左辺は$9680000$である。$${10}^6<9680000<{10}^7$$だから，$n=7$は条件を満たし，$n\le 6$は満たさない。
したがって，求める最小値は$$n=7.$$(3) $1024<1100$と(2)より$$2^{20}={1024}^2<{1100}^2<2^{-3}{10}^7\mathrm{.}$$よって$2^{23}<{10}^7$なので，常用対数を取ると$${\log }_{10}2<\frac{7}{23}\mathrm{.}$$$7\cdot 200=1400<1403=61\cdot 23$から$$\frac{7}{23}<\frac{61}{200}=\mathrm{0.305.}$$したがって$${\log }_{10}2<\mathrm{0.305.}$$

整数のべきと対数の有理数評価。

正の整数$m,k$について，$$2^m<{10}^k⟺{\log }_{10}2<\frac{k}{m}\mathrm{.}$$また，$2^m>{10}^k$なら，逆向きの下からの評価が得られる。
本問では，$2^{10}>{10}^3$と$2^{23}<{10}^7$を作り，$$\frac{3}{10}<{\log }_{10}2<\frac{7}{23}$$と挟んでいる。

この区間の幅は$7\mathrm{/}23-3\mathrm{/}10=1\mathrm{/}230$である。
対数表がなくても，整数のべきの比較から精度を保証した範囲が得られる。