北海道大学 2026年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1) 直線の式を$$(x+7y-5)+a(7x-y+5)=0$$と変形する。すべての実数$a$について成り立つ条件は$$x+7y-5=0,7x-y+5=0.$$これを解くと$$A(-\frac{3}{5},\frac{4}{5})\mathrm{.}$$(2) $u=x+7y-5$，$v=7x-y+5$とおく。
$v\mathrm{\ne }0$のとき，$u+av=0$を満たす$a>0$が存在するのは
$a=-u\mathrm{/}v>0$，すなわち$uv<0$のときである。
$v=0$のときは$u=0$も必要で，その点は$A$である。
よって求める領域は$$D=\{(x,y)\mid uv<0\}\cup \{A\}\mathrm{.}$$下図の網掛け部分と点$A$を含み，破線上の他の点を含まない。

定点を通る直線の傾きによる別解。

$a\mathrm{\ne }7$のとき，直線の傾きは$$m=-\frac{1+7a}{7-a}\mathrm{.}$$$a$について解くと$a=(7m+1)\mathrm{/}(m-7)$である。
したがって$a>0$となる傾きは$$m<-\frac{1}{7}\text{または}m>7.$$さらに$a=7$のときは$x=-3\mathrm{/}5$である。
これらの直線はすべて$A$を通るので，境界の二直線にはさまれた上下の領域と$A$を得る。

傾きを用いる方法では，$m=-1\mathrm{/}7$と$m=7$の境界を除き，垂直な直線を加える。
主解の$a=-u\mathrm{/}v$による方法は，垂直な直線も同じ式で扱える。