北海道大学 2026年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

$(x^2-3x{)}^{\mathrm{\prime }}=2x-3$より，接線は$$y-(a^2-3a)=(2a-3)(x-a),$$すなわち$$y=(2a-3)x-a^2\mathrm{.}$$点と直線の距離の公式から，原点との距離は$$d(a)=\frac{a^2}{\sqrt{(2a-3{)}^2+1}}\mathrm{.}$$(1)の接線が円$C_2$にも接する条件は$d(a)=r$である。
接線の傾き$2a-3$は$a$ごとに異なるから，この方程式の相異なる実数解を数えればよい。$$d^{\mathrm{\prime }}(a)=\frac{2a(2a-5)(a-2)}{(4a^2-12a+10{)}^{3\mathrm{/}2}}\mathrm{.}$$分母は正なので，$d$は区間$$(-\mathrm{\infty },0),(2,5\mathrm{/}2)$$で減少し，$(0,2)$，$(5\mathrm{/}2,\mathrm{\infty })$で増加する。
また$$d(0)=0,d(2)=2\sqrt{2},d(5\mathrm{/}2)=\frac{5\sqrt{5}}{4},$$$$\underset{a\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }d(a)=\mathrm{\infty }\mathrm{.}$$$r>0$に対して，負の範囲には解が一つある。
正の範囲に相異なる解が三つあるのは，水平線$d=r$が三つの単調区間の内部を通るときである。
したがって求める範囲は$$\frac{5\sqrt{5}}{4}<r<2\sqrt{2}\mathrm{.}$$両端では正の範囲の解が二つとなり，共通接線は3本なので含まない。

直線の傾きと判別式から接線を表す方法。

直線を$y=mx+b$とおく。放物線との交点の方程式は$$x^2-(m+3)x-b=0.$$接する条件は判別式が0となることで，$b=-(m+3{)}^2\mathrm{/}4$を得る。
円にも接する条件は$$\frac{\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }}{\sqrt{m^2+1}}=r\mathrm{.}$$ここに$m=2a-3$を代入すると，主解の$d(a)=r$となる。
放物線には垂直な接線がないため，この表し方で全接線を扱える。

接線の本数は，接点の数と対応することを確かめてから数える。
4次方程式の判別式を直接計算する必要はなく，距離の増減で根の個数を確定できる。