熊本大学 2017年度 前期 理工系文系数学 第4問

(問1)
$u=(a_n{)}^j$ とおく。$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x+1$ であるから，曲線 $y=f(x)$ の点 $(u,f(u))$ における接線は$$y=(2u+1)(x-u)+u^2+u=(2u+1)x-u^2$$である。これと $y=x$ の交点の$x$座標は$$x=(2u+1)x-u^2$$より $$x=\frac{u}{2}$$ である。したがって$$a_{n+1}=\frac{a_n^j}{2}$$である。$a_1=2>0$ であり，$a_n>0$ ならば $a_{n+1}>0$ であるから，すべての自然数$n$に対して $a_n>0$ が成り立つ。

(問2)
(問1)より$$b_{n+1}={\log }_2{a}_{n+1}={\log }_2\frac{a_n^j}{2}=j{\log }_2{a}_n-1=j{b}_n-1$$である。

(問3)
$b_1={\log }_{2}2=1$ である。

$j=1$ のとき，(問2)より $b_{n+1}=b_n-1$ であるから$$b_n=2-n$$である。したがって$$a_n=2^{2-n}$$である。

$j\mathrm{\ne }1$ のとき，$$b_{n+1}-\frac{1}{j-1}=j(b_n-\frac{1}{j-1})$$である。よって$$b_n-\frac{1}{j-1}=j^{n-1}(1-\frac{1}{j-1})$$となり，$$b_n=\frac{(j-2)j^{n-1}+1}{j-1}$$である。したがって$$a_n=2^{\frac{(j-2)j^{n-1}+1}{j-1}}$$である。

接線から$a_{n+1}=a_n^j\mathrm{/}2$を得て対数をとり，得られた一次漸化式を反復代入と等比和で解く。$j=1$だけは先に分ける。

(問1)
$u=a_n^j$とおくと接線は$y=(2u+1)x-u^2$であり，$y=x$との交点から$$a_{n+1}=\frac{u}{2}=\frac{a_n^j}{2}$$を得る。$a_1=2>0$なので，帰納的に$a_n>0$である。

(問2)$$b_{n+1}={\log }_2\frac{a_n^j}{2}=j{b}_n-1$$である。

(問3)
$b_1=1$である。$j=1$なら$b_n=2-n$だから$$a_n=2^{2-n}$$である。$j\mathrm{\ne }1$なら反復代入して$$b_n=j^{n-1}-\sum _{r=0}^{n-2}{j}^r=\frac{(j-2)j^{n-1}+1}{j-1}$$となる。よって$$a_n=2^{\frac{(j-2)j^{n-1}+1}{j-1}}$$である。