熊本大学 2017年度 前期 医学科理系数学 第3問

(問1)$$f(x)=1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2},f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{3x-4}{x^3}$$である。点 $(t,f(t))$ における接線と曲線の共有点を調べるため，$$f(x)-\{f^{\mathrm{\prime }}(t)(x-t)+f(t)\}=0$$を考える。両辺に正の数 $x^2{t}^3$ を掛けて整理すると$$(x-t{)}^2\{(4-3t)x+2t\}=0$$となる。よって接点以外の候補は$$x=-\frac{2t}{4-3t}$$である。

$t<0$のとき，この値は正であり，しかも接点$x=t<0$とは異なるので，定義域$x>0$に接点以外の共有点をもつ。したがって条件を満たさない。

$0<t<\frac{4}{3}$ のとき，この値は負であるから定義域 $x>0$ に入らない。$t=\frac{4}{3}$ のときも接点以外の共有点はない。$t>\frac{4}{3}$ のとき，この値は正であり，接点以外の共有点になる。ただし $$-\frac{2t}{4-3t}=t$$ となる $t=2$ では，接点と一致するだけで点$P$以外の共有点はない。したがって条件を満たす$t$の最大値は$$2$$である。

(問2)
(問1)より $a=2$ であり，$f(2)=0$ である。直線 $l_k$ は$$y=k(x-2)$$である。共有点の$x$座標は$$\frac{(x-1)(x-2)}{x^2}=k(x-2)$$を満たす。両辺に $x^2$ を掛けて整理すると$$(x-2)(k{x}^2-x+1)=0$$である。

$x=2$ は常に共有点である。二次式 $k{x}^2-x+1$ を調べる。$k<0$ のときは正の解が$1$個，$k=0$ のときも解 $x=1$ が$1$個である。$0<k<\frac{1}{4}$ のときは判別式 $1-4k>0$ で，積と和がともに正なので正の解が$2$個である。$k=\frac{1}{4}$ のときは $x=2$ が重解であり，新しい共有点はない。$k>\frac{1}{4}$ のとき二次式に実数解はない。

したがって共有点の個数は$$\{\begin{array}{ll}2& (k\leqq 0),\\ 3& (0<k<\frac{1}{4}),\\ 1& (k\geqq \frac{1}{4})\end{array}$$である。

(問3)
共有点が$2$個で，小さい方の$x$座標が $\frac{1}{3}$ であるから，$x=\frac{1}{3}$ は $k{x}^2-x+1=0$ の解である。よって$$\frac{k}{9}-\frac{1}{3}+1=0$$より$$k=-6$$である。

このとき直線は $y=-6x+12$ である。$\frac{1}{3}\leqq x\leqq 2$ において直線が曲線の上にあるので，求める面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{1\mathrm{/}3}^2\{-6x+12-(1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2})\}dx}& {\displaystyle ={\int }_{1\mathrm{/}3}^2(-6x+11+\frac{3}{x}-\frac{2}{x^2})dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[-3x^2+11x+3{\log }_{e}x+\frac{2}{x}]}_{1\mathrm{/}3}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{5}{3}+3{\log }_{e}6}\end{array}$$である。

接線との差の因数分解を『接点の重解と第3交点』として読む。(問3)では直線と曲線の差も完全に因数分解し，符号を確認してから表示積分する。

(問1)
接線と曲線の共有点方程式は$$(x-t{)}^2\{(4-3t)x+2t\}=0$$である。接点以外の候補は$$r(t)=\frac{2t}{3t-4}$$である。$t<0$では$r(t)>0$かつ接点$t$と異なるため条件を満たさない。$0<t\leqq 4\mathrm{/}3$では正の第3交点をもたず，$t>4\mathrm{/}3$では通常$r(t)>0$となる。ただし$$r(t)=t$$となるのは$t=2$で，このとき第3交点も接点に重なる。したがって条件を満たす最大値は$$a=2$$である。

(問2)
$a=2,f(2)=0$より直線は$y=k(x-2)$であり，共有点条件は$$(x-2)(k{x}^2-x+1)=0$$となる。二次因子の正の実根を判定すると$$\{\begin{array}{ll}2\text{個}& (k\leqq 0),\\ 3\text{個}& (0<k<1\mathrm{/}4),\\ 1\text{個}& (k\geqq 1\mathrm{/}4)\end{array}$$の共有点をもつ。$k=1\mathrm{/}4$では二次因子の重根も$x=2$であることに注意する。

(問3)
$x=1\mathrm{/}3$を二次因子へ代入して$$k=-6$$を得る。このとき$$l_k(x)-f(x)=\frac{(2-x)(3x-1)(2x+1)}{x^2}$$であり，$1\mathrm{/}3\leqq x\leqq 2$で非負である。よって面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_{1\mathrm{/}3}^2(-6x+11+\frac{3}{x}-\frac{2}{x^2})dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[-3x^2+11x+3{\log }_{e}x+\frac{2}{x}]}_{1\mathrm{/}3}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{5}{3}+3{\log }_{e}6}\end{array}$$である。