熊本大学 2017年度 前期 医学科理系数学 第1問

(問1)
内接円の中心を $I$ とし，$AB$ と内接円の接点を $P$ とする。半径が$1$であるから，直角三角形 $AIP$ において$$AP=\frac{1}{\tan x}$$である。同様に，各頂点から接点までの接線の長さは$$\frac{1}{\tan x},\frac{1}{\tan y},\frac{1}{\tan z}$$である。

よって三角形の半周長は$$\frac{1}{\tan x}+\frac{1}{\tan y}+\frac{1}{\tan z}$$である。一方，内接円の半径が$1$なので，面積は半周長に等しい。したがって$$S=\frac{1}{\tan x}+\frac{1}{\tan y}+\frac{1}{\tan z}$$である。

(問2)
$2x+2y+2z=\pi$ であり，$$z=\frac{\pi }{6}$$ だから$$x+y=\frac{\pi }{3}$$である。(問1)より$$S=\frac{1}{\tan x}+\frac{1}{\tan y}+\sqrt{3}$$である。また$$\frac{1}{\tan x}+\frac{1}{\tan y}=\frac{\cos x}{\sin x}+\frac{\cos y}{\sin y}=\frac{\sin (x+y)}{\sin x\sin y}=\frac{\sqrt{3}\mathrm{/}2}{\sin x\sin y}$$である。

ここで$$\sin x\sin y=\frac{\cos (x-y)-\cos (x+y)}{2}=\frac{\cos (x-y)-1\mathrm{/}2}{2}$$であるから，$$x+y=\frac{\pi }{3}$$ のもとで $\sin x\sin y$ は $$x=y=\frac{\pi }{6}$$ のとき最大値 $\frac{1}{4}$ をとる。したがって$$\frac{1}{\tan x}+\frac{1}{\tan y}\geqq 2\sqrt{3}$$であり，$$S\geqq 3\sqrt{3}$$である。等号は $$x=y=\frac{\pi }{6}$$ のとき成立する。よって最小値は$$3\sqrt{3}$$であり，そのとき$$x=y=\frac{\pi }{6}$$である。

面積を内接円で3つの三角形に分割して半周長と結びつける。(問2)は$\cot x$の凸性に対する中点評価で最小化する。

(問1)
各頂点から内接円への接線長をそれぞれ$u,v,w$とする。内接円の半径が$1$なので$$S=\frac{1}{2}\{(u+v)+(v+w)+(w+u)\}=u+v+w$$である。

頂点$A$の角は$2x$である。角の二等分線と接点を含む直角三角形を見れば$$u=\cot x=\frac{1}{\tan x}$$であり，同様に$v=\cot y,w=\cot z$である。よって$$S=\frac{1}{\tan x}+\frac{1}{\tan y}+\frac{1}{\tan z}$$である。

(問2)
$z=\pi \mathrm{/}6$より$$x+y=\frac{\pi }{3}$$である。$0<u<\pi \mathrm{/}2$で$$(\cot u{)}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=2\cot u{\csc }^{2}u>0$$だから，$\cot u$は下に凸である。したがって中点における凸性から$$\cot x+\cot y\geqq 2\cot \frac{x+y}{2}=2\cot \frac{\pi }{6}=2\sqrt{3}$$である。さらに$\cot z=\sqrt{3}$なので$$S\geqq 3\sqrt{3}\mathrm{.}$$等号は$x=y=\pi \mathrm{/}6$のとき成立する。