熊本大学 2020年度 前期数学① 第1問

(1) $$t^2=(\sin \theta +\cos \theta {)}^2=1+2\sin \theta \cos \theta$$だから、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle y}& {\displaystyle =\sin \theta \cos \theta +a(\sin \theta +\cos \theta )+a^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{2}{t}^2+at+a^2-\frac{1}{2}\mathrm{.}}\end{array}$$(2)$$t=\sqrt{2}\sin (\theta +\frac{\pi }{4})$$である。$0\leqq \theta <2\pi$ の間に正弦は $-1$ から $1$ までのすべての値を取るので、$$-\sqrt{2}\leqq t\leqq \sqrt{2}\mathrm{.}$$(3)$$y=\frac{1}{2}(t+a{)}^2+\frac{a^2-1}{2}$$は下に凸で、軸は $t=-a$ である。最大値は軸から遠い方の端点で取り、$$y_{\max }=a^2+\frac{1}{2}+\sqrt{2}\mid a\mid \mathrm{.}$$最小値は、$-a$ が区間 $[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$ に入るかどうかで決まる。したがって$$y_{\min }=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{a^2-1}{2}}& (\mid a\mid \leqq \sqrt{2}),\\ a^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}-\sqrt{2}\mid a\mid & (\mid a\mid \geqq \sqrt{2})\end{array}$$となる。境界 $\mid a\mid =\sqrt{2}$ では両式が一致する。

平方完成後の $(t+a{)}^2$ を、点 $-a$ と区間 $[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$ 上の点 $t$ の距離の二乗と見る。距離の最大・最小を求めれば、煩雑な符号別計算を避けられる。

(1) $$t^2=1+2\sin \theta \cos \theta$$ より$$y=\frac{1}{2}{t}^2+at+a^2-\frac{1}{2}\mathrm{.}$$(2)$$t=\sqrt{2}\sin (\theta +\pi \mathrm{/}4)$$ だから$$-\sqrt{2}\leqq t\leqq \sqrt{2}\mathrm{.}$$(3)

$\mid t+a\mid$ は、数直線上の点 $-a$ と区間内の点 $t$ の距離である。最も遠い端点までの距離は$$\mid a\mid +\sqrt{2}$$だから、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle y_{\max }}& {\displaystyle =\frac{1}{2}(\mid a\mid +\sqrt{2}{)}^2+\frac{a^2-1}{2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a^2+\frac{1}{2}+\sqrt{2}\mid a\mid \mathrm{.}}\end{array}$$一方、点 $-a$ と区間との最短距離は$$\mathrm{dist}(-a,[-\sqrt{2},\sqrt{2}])=\{\begin{array}{ll}0& (\mid a\mid \leqq \sqrt{2}),\\ \mid a\mid -\sqrt{2}& (\mid a\mid \geqq \sqrt{2})\end{array}$$である。これを平方完成した式へ代入すると、$$y_{\min }=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{a^2-1}{2}}& (\mid a\mid \leqq \sqrt{2}),\\ a^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}-\sqrt{2}\mid a\mid & (\mid a\mid \geqq \sqrt{2})\end{array}$$を得る。