熊本大学 2023年度 前期数学① 第4問

(問1)$$f(x)-g(x)=\frac{2}{3}{x}^3-8x-\frac{5}{3}-k$$である。微分すると$$(f-g{)}^{\mathrm{\prime }}(x)=2x^2-8=2(x-2)(x+2)$$である。したがって $x=-2$ で極大，$x=2$ で極小となり，極大値は$$9-k$$極小値は$$-\frac{37}{3}-k$$である。

(問2)
$k>0$ であるから，極小値は常に負である。3次方程式 $f(x)-g(x)=0$ がちょうど2個の異なる実数解をもつには，極大値が $0$ となればよい。よって$$9-k=0$$より$$k=9$$である。

(問3)
$k=9$ のとき$$f(x)-g(x)=\frac{2}{3}(x+2{)}^2(x-4)$$であるから，共有点の $x$ 座標は $-2,4$ である。$C_2$ は$$y=x^2+4x+13$$であり，共有点は $(-2,9)$，$(4,45)$ である。この2点を通る直線 $l$ は$$y=6x+21$$である。$-2\leqq x\leqq 4$ では直線が放物線の上側にあるので，$x\geqq 0$ の部分の面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^4\{(6x+21)-(x^2+4x+13)\}dx}& {\displaystyle ={\int }_0^4(-x^2+2x+8)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{80}{3}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって求める面積は ${\displaystyle \frac{80}{3}}$ である。

共有点が2個である条件を、差の3次多項式が重解をもつ条件として処理する。候補の重解は導関数の零点だけなので $k$ を即決し、面積は $X=x+2$ で放物線を標準位置へ移して計算する。

(問1)
差を $h(x)=f(x)-g(x)$ とおくと$$h(x)=\frac{2}{3}{x}^3-8x-\frac{5}{3}-k,h^{\mathrm{\prime }}(x)=2(x-2)(x+2)\mathrm{.}$$したがって $x=-2$ で極大値 $9-k$、$x=2$ で極小値
$-37\mathrm{/}3-k$ をとる。

(問2)
共有点がちょうど2個であるには、3次方程式 $h(x)=0$ が重解をもてばよい。重解の候補は $h^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ より $x=\pm 2$ だけである。$$h(-2)=9-k,h(2)=-\frac{37}{3}-k\mathrm{.}$$$k>0$ の範囲で零になりうるのは前者だけだから$$k=9$$である。このとき$$h(x)=\frac{2}{3}(x+2{)}^2(x-4)$$で、異なる共有点は確かに2個である。

(問3)
$X=x+2$ と平行移動すると、放物線 $C_2$ は$$y=X^2+9$$となる。交点の $X$ 座標は $0,6$ であり、その2点を結ぶ直線は$$y=6X+9.$$$x\geqq 0$ は $X\geqq 2$ に対応するので、求める面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_2^6\{(6X+9)-(X^2+9)\}dX}& {\displaystyle ={\int }_2^{6}X(6-X)dX}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{80}{3}\mathrm{.}}\end{array}$$