熊本大学 2022年度 前期文系数学 第2問

(問1)
1回の手番で同じ色の2個を取り出す確率は$$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$であり，異なる色を取り出す確率は ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ である。$B$ が1巡目で勝者になるには，$A$ が異なる色を取り出し，続いて $B$ が同じ色を取り出せばよい。したがって$$\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{9}$$である。

(問2)
1巡で勝者が出ない確率は$${\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$$である。よって$$p_N=\frac{2}{9}\{1+\frac{4}{9}+{\left(\frac{4}{9}\right)}^2+\cdots +{\left(\frac{4}{9}\right)}^{N-1}\}=\frac{2}{5}\{1-{\left(\frac{4}{9}\right)}^N\}$$である。$p_N>0.396$ は$${\left(\frac{4}{9}\right)}^N<\frac{1}{100}$$と同値である。底 $2$ の対数を用いると$$N\{2{\log }_{2}3-2\}>2(1+{\log }_{2}5)$$である。与えられた値から$$2{\log }_{2}3-2=1.170,2(1+{\log }_{2}5)=6.644$$であるから$$N>\frac{6.644}{1.170}$$である。右辺は $5$ より大きく $6$ より小さいので，最小の $N$ は$$N=6$$である。

(問3)
$N$ 巡目以内に $A$ が勝者になる確率は$$\frac{1}{3}\{1+\frac{4}{9}+\cdots +{\left(\frac{4}{9}\right)}^{N-1}\}=\frac{3}{5}\{1-{\left(\frac{4}{9}\right)}^N\}$$である。一方，$B$ が勝者になる確率は$$\frac{2}{5}\{1-{\left(\frac{4}{9}\right)}^N\}$$である。したがって，$N$ 巡目以内に勝者になる確率は $A$ の方が大きい。

Aの手番から始まる同じ状態へ戻る確率を求め、残り巡数に関する再帰式を立てる。
閾値判定は累乗を整数の大小で直接比較し、対数計算を使わない。

1回の手番で同色を引く確率を $s$ とすると$$s=\frac{{}_2{\mathrm{C}}_2+{}_2{\mathrm{C}}_2}{{}_4{\mathrm{C}}_2}=\frac{1}{3},1-s=\frac{2}{3}\mathrm{.}$$(問1)
Aが失敗し、続いてBが成功すればよいから$$\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{9}\mathrm{.}$$(問2)
A、Bがともに失敗すると、確率 $4\mathrm{/}9$ で次の巡の開始状態へ戻る。
$r_N$ を残り $N$ 巡以内にBが勝つ確率とすると$$r_0=0,r_N=\frac{2}{9}+\frac{4}{9}{r}_{N-1}\mathrm{.}$$定常値 $r=2\mathrm{/}5$ を引けば$$r_N-\frac{2}{5}=\frac{4}{9}(r_{N-1}-\frac{2}{5}),$$したがって$$r_N=\frac{2}{5}\{1-{\left(\frac{4}{9}\right)}^N\}\mathrm{.}$$条件 $r_N>0.396$ は $(4\mathrm{/}9{)}^N<1\mathrm{/}100$ と同値である。ここで$$100\cdot 4^5=102400>9^5=59049,$$$$100\cdot 4^6=409600<9^6=531441$$だから、最小値は$$N=6\mathrm{.}$$(問3)
同様に、残り $N$ 巡以内にAが勝つ確率 $q_N$ は$$q_0=0,q_N=\frac{1}{3}+\frac{4}{9}{q}_{N-1}$$を満たすので$$q_N=\frac{3}{5}\{1-{\left(\frac{4}{9}\right)}^N\}\mathrm{.}$$よって $q_N>r_N$ であり、$A\text{の方が大きい}$。