熊本大学 2022年度理系数学第4問（医学部医学科）解答・解説

問題

以下の問いに答えよ．(問1)　 $m ≦ n$ であって, $mn + 2 =_{m + n} C_{m}$ を満たす正の整数の組 $(m, n)$ を $1$ つ求めよ．(問2)　 $m ≦ n$ であって, $mn + 2 =_{m + n} C_{m}$ を満たす正の整数の組 $(m, n)$ は,(問1)で求めた組に限ることを示せ．

出典：熊本大学 2022年度前期理系第4問

方針

解法1（二項係数を3次式で下から評価する方法）

まず小さい $m$ を調べ， $m = 2$ から解 $(2, 2)$ を得る。 $m ≧ 3$ では $_{m + n} C_{m}$ を下から $_{n + 3} C_{3}$ で評価し， $mn + 2 ≦ n^{2} + 2$ より大きいことを示して解がないことを証明する。

解法2（固定した変数について差分で単調増加を示す方法）

$m = 1, 2$ を直接処理する。 $m ≧ 3$ では $h_{m} (n) =_{m + n} C_{m} - mn - 2$ を定め、初期値 $h_{m} (m) > 0$ と差分 $h_{m} (n + 1) - h_{m} (n) > 0$ を別々に示す。

解答

解法1（二項係数を3次式で下から評価する方法）

(問1)

$m = 2, n = 2$ とすると

mn + 2 = 6,_{m + n} C_{m} =_{4} C_{2} = 6

である。したがって求める組の一つは

(m, n) = (2, 2)

である。

(問2)

まず $m = 1$ のとき，方程式は

n + 2 =_{n + 1} C_{1} = n + 1

となり，成り立たない。

次に $m = 2$ のとき，

2 n + 2 =_{n + 2} C_{2} = \frac{( n + 2 ) ( n + 1 )}{2}

である。整理すると

n^{2} - n - 2 = 0

であり，正の整数解は $n = 2$ である。

最後に $m ≧ 3$ とする。 $m ≦ n$ であるから， $_{m + n} C_{r}$ は $r = 0, 1, \dots, m$ の範囲で少なくとも $r = 3$ までは増加し，

_{m + n} C_{m} ≧_{m + n} C_{3} ≧_{n + 3} C_{3}

である。よって

_{m + n} C_{m} ≧ \frac{( n + 3 ) ( n + 2 ) ( n + 1 )}{6}

である。一方， $m ≦ n$ より

mn + 2 ≦ n^{2} + 2

である。 $n ≧ 3$ では

\frac{( n + 3 ) ( n + 2 ) ( n + 1 )}{6} > n^{2} + 2

であるから， $_{m + n} C_{m} > mn + 2$ となる。したがって $m ≧ 3$ では解はない。

以上より，条件を満たす正の整数の組は

(m, n) = (2, 2)

に限られる。

解法2（固定した変数について差分で単調増加を示す方法）

(問1)

(m, n) = (2, 2)

とすれば

mn + 2 = 6 =_{4} C_{2} .

よって $(2, 2)$ が1組の解である。

(問2)

$m = 1$ では $n + 2 = n + 1$ となり不可能である。 $m = 2$ では

2 n + 2 = \frac{( n + 2 ) ( n + 1 )}{2} ⟺ (n - 2) (n + 1) = 0,

したがって正の整数解は $n = 2$ だけである。

以下 $m ≧ 3$ , $n ≧ m$ とし

h_{m} (n) =_{m + n} C_{m} - mn - 2

とおく。まず二項係数は中央へ向かって増えるので

_{2 m} C_{m} ≧_{2 m} C_{3} .

よって

h_{m} (m) ≧ \frac{( 2 m ) ( 2 m - 1 ) ( 2 m - 2 )}{6} - m^{2} - 2 = \frac{( m - 3 ) ( 4 m ^{2} + 3 m + 11 ) + 27}{3} > 0.

またPascalの関係から

h_{m} (n + 1) - h_{m} (n) =_{m + n} C_{m - 1} - m .

$2 ≦ m - 1 < (m + n) /2$ だから

_{m + n} C_{m - 1} ≧_{m + n} C_{2} > m,

したがって $h_{m} (n)$ は $n ≧ m$ で増加する。ゆえに $m ≧ 3$ では常に

_{m + n} C_{m} > mn + 2

であり解はない。以上より唯一の組は

(m, n) = (2, 2) .

熊本大学 2022年度理系数学 第4問（医学部医学科）

問題

方針

解法1（二項係数を3次式で下から評価する方法）

解法2（固定した変数について差分で単調増加を示す方法）

解答

解法1（二項係数を3次式で下から評価する方法）

(問1)

(問2)

解法2（固定した変数について差分で単調増加を示す方法）

(問1)

(問2)

熊本大学 2022年度
理系数学第4問（医学部医学科）