熊本大学 2022年度理系数学第4問（理工系）解答・解説

問題

関数 $f (x) = 1 + sin^{2} \frac{π x}{2}$ について,以下の問いに答えよ．(問1)　 $f (x)$ $（ 0 ≦ x ≦ 1 ）$ の最小値と最大値を求めよ．(問2)　 $0 ≦ x ≦ 1$ において, $2 x ≦ f (x) ≦ 2$ となることを示せ．(問3)　数列 ${a_{n}}$ を $a_{n} = \int_{0}^{1} {f (x)}^{n} d x$ $（ n = 1, 2, 3, \dots ）$ で定める． $lim_{n \to \infty} n a_{n}$ の値を求めよ．ただし, $lim_{n \to \infty} \frac{l o g ( n + 1 )}{n} = 0$ を用いてよい．

出典：熊本大学 2022年度前期理系第4問

方針

解法1（明示的な上下評価ではさみうつ方法）

$0 ≦ x ≦ 1$ では $0 ≦ sin (π x /2) ≦ 1$ であることから最大・最小を求める。下からの評価は $sin (π x /2) ≧ x$ を使い， $a_{n}$ は $(2)^{n}$ と $(2)^{n} / (n + 1)$ ではさむ。

解法2（最大点近傍だけを使って積分の累乗根を評価する方法）

三角関数の凹性から設問の下側評価を示す。極限では積分全体を具体的に評価せず、最大点 $x = 1$ の近くに $f (x)$ が最大値に近い区間を確保する。

解答

解法1（明示的な上下評価ではさみうつ方法）

(問1)

$0 ≦ x ≦ 1$ では

0 ≦ sin \frac{π x}{2} ≦ 1

である。したがって

1 ≦ f (x) ≦ 2

であり，最小値は $1$ ，最大値は $2$ である。

(問2)

上の結果から $f (x) ≦ 2$ は成り立つ。次に， $0 ≦ x ≦ 1$ では $sin \frac{π x}{2} ≧ x$ であるから

f (x)^{2} = 1 + sin^{2} \frac{π x}{2} ≧ 1 + x^{2} ≧ 2 x^{2}

である。両辺は $0$ 以上なので

f (x) ≧ 2 x

である。よって

2 x ≦ f (x) ≦ 2

が成り立つ。

(問3)

(問2)より

(2 x)^{n} ≦ {f (x)}^{n} ≦ (2)^{n}

である。 $0 ≦ x ≦ 1$ で積分して

\frac{( 2 ) ^{n}}{n + 1} ≦ a_{n} ≦ (2)^{n}

を得る。したがって

2 n \frac{1}{n + 1} ≦ n a_{n} ≦ 2

である。与えられた条件より

n \to \infty lim n \frac{1}{n + 1} = 1

であるから，はさみうちにより

n \to \infty lim n a_{n} = 2

である。

解法2（最大点近傍だけを使って積分の累乗根を評価する方法）

(問1)

$0 ≦ x ≦ 1$ では $sin (π x /2)$ は0から1まで増加するから

min f = 1 (x = 0), max f = 2 (x = 1) .

(問2)

$g (x) = sin (π x /2) - x$ とおくと

g^{''} (x) = - \frac{π ^{2}}{4} sin \frac{π x}{2} ≦ 0.

$g$ は上に凸で $g (0) = g (1) = 0$ だから、区間内で $g (x) ≧ 0$ 。よって

f (x)^{2} = 1 + sin^{2} \frac{π x}{2} ≧ 1 + x^{2} ≧ 2 x^{2} .

また問1から $f (x) ≦ 2$ なので

2 x ≦ f (x) ≦ 2 .

(問3)

任意の $ε > 0$ をとる。 $f$ は $x = 1$ で連続で $f (1) = 2$ だから、ある $δ \in (0, 1)$ が存在して

1 - δ ≦ x ≦ 1 ⟹ f (x) > 2 - ε .

したがって

δ (2 - ε)^{n} ≦ \int_{1 - δ}^{1} {f (x)}^{n} d x ≦ a_{n} ≦ (2)^{n} .

$n$ 乗根をとると

δ^{1/ n} (2 - ε) ≦ n a_{n} ≦ 2 .

$δ^{1/ n} \to 1$ であり、 $ε$ は任意だから

n \to \infty lim n a_{n} = 2 .

熊本大学 2022年度理系数学 第4問（理工系）

問題

方針

解法1（明示的な上下評価ではさみうつ方法）

解法2（最大点近傍だけを使って積分の累乗根を評価する方法）

解答

解法1（明示的な上下評価ではさみうつ方法）

(問1)

(問2)

(問3)

解法2（最大点近傍だけを使って積分の累乗根を評価する方法）

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2022年度
理系数学第4問（理工系）