熊本大学 2022年度理系数学第3問（医学部医学科）解答・解説

問題

$p$ を正の実数とする．曲線 $y = sin x$ $（ x > 0 ）$ の接線で点 $(- p, 0)$ を通るものをすべて考え,それらの接点の $x$ 座標を小さい方から順に $a_{1},$ $a_{2}, \dots,$ $a_{n}, \dots$ とする．このとき,以下の問いに答えよ．(問1)　 $n = 1,$ $2,$ $3, \dots$ に対して, $tan a_{n} = a_{n} + p$ が成り立つことを示せ．(問2)　 $n = 1,$ $2,$ $3, \dots$ に対して, $a_{n + 1} - a_{n} > π$ が成り立つことを示せ．(問3)　 $a_{1} = \frac{π}{3}$ のとき, $n = 1,$ $2,$ $3, \dots$ に対して, $tan a_{n + 1} > nπ + 3$ が成り立つことを示せ．

出典：熊本大学 2022年度前期理系第3問

方針

解法1（接線条件の関数を各枝で比較する方法）

接点を $a$ として接線方程式を立て，点 $(- p, 0)$ を通る条件から $tan a = a + p$ を得る。 $tan x - x - p$ の各枝での増加性を使い，次の解は前の解に $π$ を足した点より右にあることを示す。最後は $a_{1} = π /3$ から $p$ を求め，(問2)を繰り返す。

解法2（正接関数の周期移動で解の位置を比べる方法）

接線条件を $H (x) = tan x - x = p$ と表す。各正の枝に解が1つずつあることを確認し、 $H (x + π) = H (x) - π$ を使って隣り合う解を比較する。

解答

解法1（接線条件の関数を各枝で比較する方法）

(問1)

接点の $x$ 座標を $a_{n}$ とする。曲線 $y = sin x$ の $x = a_{n}$ における接線は

y = cos a_{n} (x - a_{n}) + sin a_{n}

である。この接線が $(- p, 0)$ を通るので

0 = cos a_{n} (- p - a_{n}) + sin a_{n}

である。ここで $cos a_{n} = 0$ なら $sin a_{n} = 0$ となって矛盾するから， $cos a_{n} \neq = 0$ である。したがって

tan a_{n} = a_{n} + p

である。

(問2)

$F (x) = tan x - x - p$ とおく。解 $a_{n}$ について

F (a_{n} + π) = tan a_{n} - a_{n} - π - p = - π < 0

である。一方， $a_{n} + π$ の右側の同じ枝では $tan x$ は増加して $+ \infty$ に近づくため，次の解 $a_{n + 1}$ は $a_{n} + π$ より右にある。したがって

a_{n + 1} - a_{n} > π

である。

(問3)

$a_{1} = \frac{π}{3}$ であるから，(問1)より

3 = \frac{π}{3} + p

すなわち

p = 3 - \frac{π}{3}

である。(問2)を繰り返し用いると

a_{n + 1} > a_{1} + nπ = \frac{π}{3} + nπ

である。よって

tan a_{n + 1} = a_{n + 1} + p > nπ + \frac{π}{3} + 3 - \frac{π}{3} = nπ + 3

である。

解法2（正接関数の周期移動で解の位置を比べる方法）

(問1)

接点を $(t, sin t)$ とすると接線は

y - sin t = cos t (x - t) .

これが $(- p, 0)$ を通るので

sin t = (t + p) cos t .

$cos t = 0$ ではこの式は成り立たないから割ることができ、

tan a_{n} = a_{n} + p .

(問2)

H (x) = tan x - x

とおく。各区間

I_{n} = ((n - 1) π, (n - \frac{1}{2}) π)

では

H^{'} (x) = tan^{2} x ≧ 0

で、左端の値は $- (n - 1) π < p$ 、右端では $+ \infty$ となる。よって $H (x) = p$ の解は各 $I_{n}$ にただ1つあり、それが $a_{n}$ である。 $a_{n} + π \in I_{n + 1}$ であり

H (a_{n} + π) = tan a_{n} - a_{n} - π = p - π < p .

同じ枝で $H$ は増加するから

a_{n + 1} > a_{n} + π, a_{n + 1} - a_{n} > π .

(問3)

$a_{1} = π /3$ と問1から

p = 3 - \frac{π}{3} .

問2を $n$ 回用いると

a_{n + 1} > a_{1} + nπ = \frac{π}{3} + nπ .

したがって

tan a_{n + 1} = a_{n + 1} + p > nπ + 3 .

熊本大学 2022年度理系数学 第3問（医学部医学科）

問題

方針

解法1（接線条件の関数を各枝で比較する方法）

解法2（正接関数の周期移動で解の位置を比べる方法）

解答

解法1（接線条件の関数を各枝で比較する方法）

(問1)

(問2)

(問3)

解法2（正接関数の周期移動で解の位置を比べる方法）

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2022年度
理系数学第3問（医学部医学科）