熊本大学 2022年度理系数学第3問（理工系）解答・解説

問題

$x,$ $y$ を実数とし, $f (p) = p^{2} + x p + y$ とおく．このとき,以下の問いに答えよ．(問1)　 $p$ の $2$ 次方程式 $f (p) = 0$ が実数解を持つような点 $(x, y)$ 全体の集合を $D$ とおく． $D$ を $x y$ 平面上に図示せよ．(問2)　 $p$ の $2$ 次方程式 $f (p) = 0$ は実数解を持つとする． $f (p) = 0$ の実数解がすべて $1$ 以下で,少なくとも $1$ つの実数解は $0$ 以上となるような点 $(x, y)$ 全体の集合を $E$ とおく． $E$ を $x y$ 平面上に図示せよ．(問3)　点 $(x, y)$ が(問2)の集合 $E$ 全体を動くとき, $x^{2} + y^{2} - 4 y + 4$ の最小値を求めよ．

出典：熊本大学 2022年度前期理系第3問

方針

解法1（判別式で領域を表し距離を最小化する方法）

(問1)は判別式で領域を出す。(問2)は実根を $α ≦ β$ とし， $β ≦ 1$ と $β ≧ 0$ を係数条件へ直す。得られた領域を2つの範囲に分け，(問3)では点 $(0, 2)$ から領域への距離の最小として境界を確認する。

解法2（根の配置から領域を作り上側境界で評価する方法）

実根を $α ≦ β$ とおき、 $β ≦ 1$ , $β ≧ 0$ をVietaの関係で係数平面へ移す。最小化では、各 $x$ に対して点 $(0, 2)$ に最も近い上側境界だけを調べる。

解答

解法1（判別式で領域を表し距離を最小化する方法）

(問1)

$f (p) = 0$ が実数解をもつ条件は判別式が $0$ 以上であることなので

x^{2} - 4 y ≧ 0

である。したがって

D : y ≦ \frac{x ^{2}}{4}

であり，放物線 $y = \frac{x ^{2}}{4}$ の下側の領域である。

(問2)

実数解を $α ≦ β$ とする。すべての実数解が $1$ 以下である条件は， $q = p - 1$ とおいたとき， $q$ の2つの解がともに $0$ 以下であることと同値である。よって

x ≧ - 2, f (1) = 1 + x + y ≧ 0

が必要である。判別式条件も合わせると

y ≦ \frac{x ^{2}}{4}, x ≧ - 2, y ≧ - x - 1

である。

さらに少なくとも1つの実数解が $0$ 以上であるためには，2つの実数解がともに負である場合を除けばよい。これは $x > 0$ かつ $y > 0$ の場合である。したがって領域 $E$ は

- 2 ≦ x ≦ 0 では - x - 1 ≦ y ≦ \frac{x ^{2}}{4},

x ≧ 0 では - x - 1 ≦ y ≦ 0

で表される領域である。

(問3)

求める式は

x^{2} + y^{2} - 4 y + 4 = x^{2} + (y - 2)^{2}

である。これは点 $(x, y)$ と点 $(0, 2)$ の距離の2乗である。

$- 2 ≦ x ≦ 0$ の上側境界 $y = \frac{x ^{2}}{4}$ 上では， $u = x^{2}$ とおくと

x^{2} + (\frac{x ^{2}}{4} - 2)^{2} = u + (\frac{u}{4} - 2)^{2} = \frac{u ^{2}}{16} + 4 ≧ 4

である。 $x ≧ 0$ の上側境界 $y = 0$ 上では

x^{2} + (0 - 2)^{2} = x^{2} + 4 ≧ 4

である。また下側境界 $y = - x - 1$ 上では

x^{2} + (- x - 3)^{2} ≧ \frac{9}{2} > 4

である。点 $(0, 0)$ は領域 $E$ に含まれ，この点で値は $4$ である。したがって最小値は

4

である。

解法2（根の配置から領域を作り上側境界で評価する方法）

(問1)

判別式から

x^{2} - 4 y ≧ 0 ⟺ D : y ≦ \frac{x ^{2}}{4} .

(問2)

実根を $α ≦ β$ とする。 $β ≦ 1$ は、 $q = p - 1$ による2根がともに0以下ということである。ゆえに

x + 2 ≧ 0, f (1) = 1 + x + y ≧ 0.

さらに $β ≧ 0$ である。 $x ≦ 0$ なら $α + β = - x ≧ 0$ なのでこれは自動的に成り立つ。 $x > 0$ なら2根の和は負だから、 $β ≧ 0$ は $α β = y ≦ 0$ と同値である。したがって

{- 2 ≦ x ≦ 0 : x ≧ 0 : - x - 1 ≦ y ≦ x^{2} /4, - x - 1 ≦ y ≦ 0.

(問3)

目的式は点 $(0, 2)$ からの距離の2乗

x^{2} + (y - 2)^{2}

である。 $- 2 ≦ x ≦ 0$ では $y ≦ x^{2} /4 ≦ 1$ だから、固定した $x$ に対して上側境界で最小となり

x^{2} + (y - 2)^{2} ≧ x^{2} + (\frac{x ^{2}}{4} - 2)^{2} = 4 + \frac{x ^{4}}{16} ≧ 4.

$x ≧ 0$ では $y ≦ 0$ だから

x^{2} + (y - 2)^{2} ≧ x^{2} + 4 ≧ 4.

等号は $(x, y) = (0, 0) \in E$ で成り立つ。よって最小値は

4 .

熊本大学 2022年度理系数学 第3問（理工系）

問題

方針

解法1（判別式で領域を表し距離を最小化する方法）

解法2（根の配置から領域を作り上側境界で評価する方法）

解答

解法1（判別式で領域を表し距離を最小化する方法）

(問1)

(問2)

(問3)

解法2（根の配置から領域を作り上側境界で評価する方法）

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2022年度
理系数学第3問（理工系）