京都大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

被積分関数を $h(t)=t{e}^{-\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }}$ と置くと$$f(x)={\int }_x^{x+1}h(t)dt$$である。積分区間の両端を微分して$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=h(x+1)-h(x)=(x+1)e^{-\mathrm{\mid }x+1\mathrm{\mid }}-x{e}^{-\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}$$を得る。

(1)

$-1\leqq x\leqq 0$ では$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(x+1)e^{-(x+1)}-x{e}^x\mathrm{.}$$右辺の第1項と第2項はともに非負なので $f^{\mathrm{\prime }}(x)\geqq 0$ である。したがって $f$ は $[-1,0]$ で増加し$$f(-1)\leqq f(x)\leqq f(0)$$が成り立つ。

(2)

$x\geqq 0$ では$$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{e^{-x}}{e}}\{1-(e-1)x\}\mathrm{.}$$よって $x={\displaystyle \frac{1}{e-1}}$ で符号が正から負へ変わる。

$x\leqq -1$ では$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=e^x\{(e-1)x+e\}\mathrm{.}$$よって $$x=-{\displaystyle \frac{e}{e-1}}$$ で符号が負から正へ変わる。中央の区間では (1) により正である。また $x\to \pm \mathrm{\infty }$ のとき $f(x)\to 0$ であるから、これらは全体での最小点・最大点である。

したがって$$\text{最大となる }x={\displaystyle \frac{1}{e-1}},\text{最小となる }x=-{\displaystyle \frac{e}{e-1}}\mathrm{.}$$

$h(t)=t{e}^{-\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }}$ が奇関数であることから $f(-x-1)=-f(x)$ を示す。中央区間の増加と $x\geqq 0$ での式だけを調べれば、最大点が求まり、その点を $x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ に関して反転して最小点を得られる。

(1)

$h(t)=t{e}^{-\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }}$ は奇関数である。変数変換 $t=-u$ により$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(-x-1)}& {\displaystyle ={\int }_{-x-1}^{-x}h(t)dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\int }_x^{x+1}h(u)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-f(x)\mathrm{.}}\end{array}$$したがって $f$ のグラフは点 $(-{\displaystyle \frac{1}{2}},0)$ に関して点対称である。

$-1\leqq x\leqq 0$ では$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(x+1)e^{-(x+1)}-x{e}^x\geqq 0$$なので $$f(-1)\leqq f(x)\leqq f(0)$$ である。

(2)

$x\geqq 0$ では直接積分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)}& {\displaystyle ={\int }_x^{x+1}t{e}^{-t}dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =e^{-x}\{x+1-{\displaystyle \frac{x+2}{e}}\}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{e^{-x}}{e}}\{1-(e-1)x\}\mathrm{.}$$よって右側での最大点は$$x={\displaystyle \frac{1}{e-1}}$$である。中央区間は増加し、無限遠では $f(x)\to 0$ なので、これは全体での最大点でもある。

点 $(-{\displaystyle \frac{1}{2}},0)$ に関する対称な x 座標は$$-1-{\displaystyle \frac{1}{e-1}}=-{\displaystyle \frac{e}{e-1}}\mathrm{.}$$ここで最小となる。したがって最大点・最小点はそれぞれ$${\displaystyle \frac{1}{e-1}},-{\displaystyle \frac{e}{e-1}}$$である。