京都大学 1987年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第3問

$AB$を結ぶ直線を$L(x)=a+(b-a)x$とする。$H$を$y=h(x)$と書けば、$h-L$は2次係数$a$で$x=0,1$を根にもつから$$h(x)=L(x)+ax(x-1)=a+(b-2a)x+a{x}^2\mathrm{.}$$(1) $0\le x\le 1$では$x(x-1)\le 0$なので$h(x)\le L(x)$である。また頂点の$x$座標は$$1-{\displaystyle \frac{b}{2a}}<1$$である。これが$0$以下なら$h$は区間で増加して$h\ge h(0)=a>0$。これが$(0,1)$内なら最小値は$${\displaystyle \frac{b(4a-b)}{4a}}>0$$である。よって弧は底辺より上、上辺より下にあり、台形内にある。

(2) 弧より下の面積は$${\int }_0^{1}h(x)dx={\displaystyle \frac{a}{3}}+{\displaystyle \frac{b}{2}}\mathrm{.}$$台形の面積は${\displaystyle \frac{a+b}{2}}$だから、二等分するなら$${\displaystyle \frac{a}{3}}+{\displaystyle \frac{b}{2}}={\displaystyle \frac{a+b}{4}}$$となるはずである。しかしこれは$a+3b=0$と同値で、$a,b>0$に反する。したがって二等分することはない。

放物線を $h(x)=a(1-x{)}^2+bx$ と表して台形内にあることを直接示す。面積は曲線より上と下に分け、台形の半分との差が常に正であることを確認する。

曲線 $H$ を $y=h(x)$ とする。二次係数が $a$ で $A(0,a),B(1,b)$ を通るから$$h(x)=a(1-x{)}^2+bx$$である。

(1)
$0\leqq x\leqq 1$ では$$h(x)=a(1-x{)}^2+bx>0$$である。また上辺 $AB$ の式を $L(x)=a(1-x)+bx$ とすれば$$L(x)-h(x)=ax(1-x)\geqq 0.$$したがって $H$ は底辺より上、上辺より下にあり、弧 $\widehat{AB}$ は台形内にある。

(2)
曲線より下の面積は$${\int }_0^{1}h(x)dx={\displaystyle \frac{a}{3}}+{\displaystyle \frac{b}{2}}\mathrm{.}$$台形全体の面積は $(a+b)\mathrm{/}2$ だから、その半分との差は$$({\displaystyle \frac{a}{3}}+{\displaystyle \frac{b}{2}})-{\displaystyle \frac{a+b}{4}}={\displaystyle \frac{a}{12}}+{\displaystyle \frac{b}{4}}>0.$$したがって曲線より下の面積は常に台形の半分より大きく、弧が面積を二等分することはない。