京都大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

$$\overrightarrow{BC}=\vec{d},\mathrm{\mid }\vec{d}\mathrm{\mid }=q$$ とする。点 $A$ から見た $B$ へのベクトルを $$\overrightarrow{AB}=\vec{u}$$ とおけば、$C$ は $B$ から $\vec{d}$ だけ進んだ点なので$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\vec{u}+\vec{d}$$である。したがって条件(B)の左辺は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}& {\displaystyle =\vec{u}\cdot (\vec{u}+\vec{d})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mathrm{\mid }\vec{u}{\mathrm{\mid }}^2+\vec{u}\cdot \vec{d}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\mid \vec{u}+{\displaystyle \frac{\vec{d}}{2}}\mid }^2-{\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\vec{d}{\mathrm{\mid }}^2}{4}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\mid \vec{u}+{\displaystyle \frac{\vec{d}}{2}}\mid }^2-{\displaystyle \frac{q^2}{4}}}\end{array}$$となる。

ここで平方の部分は0以上だから、まず $$p\geqq -{\displaystyle \frac{q^2}{4}}$$ が必要である。ただし等号が成り立つなら $$\vec{u}=-{\displaystyle \frac{\vec{d}}{2}}$$ であり、これは $A$ が $BC$ の中点であることを意味する。このとき3点 $A,B,C$ は一直線上に並び、三角形にならない。よって実際に必要なのは $$p>-{\displaystyle \frac{q^2}{4}}$$ である。

逆に $$p>-{\displaystyle \frac{q^2}{4}}$$ とする。このとき $$R^2=p+{\displaystyle \frac{q^2}{4}}>0$$ とおける。$\vec{d}$ に垂直な単位ベクトルを $\vec{e}$ とし、$$\vec{u}=-{\displaystyle \frac{\vec{d}}{2}}+R\vec{e}$$ と取ると、$\vec{u}$ は $\vec{d}$ と同一直線方向ではないので、対応する3点 $A,B,C$ は一直線上に並ばない。また $${\mid \vec{u}+{\displaystyle \frac{\vec{d}}{2}}\mid }^2=R^2=p+{\displaystyle \frac{q^2}{4}}$$ であるから $$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=p$$ となる。さらに $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{BC}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{d}\mathrm{\mid }=q$$ である。

以上より、求める必要十分条件は $$p>-{\displaystyle \frac{q^2}{4}}$$ である。

辺 $BC$ を $x$ 軸上に左右対称に置き，点 $A$ の座標を用いて内積を計算する。非退化条件は $A$ の高さが0でないことなので，取り得る $p$ の範囲と十分性が同時に見える。

$B=(-q\mathrm{/}2,0),C=(q\mathrm{/}2,0)$ と置く。点 $A=(s,t)$ とすれば，三角形が退化しない条件は $t\mathrm{\ne }0$ である。

このとき$$\overrightarrow{AB}=(-{\displaystyle \frac{q}{2}}-s,-t),\overrightarrow{AC}=({\displaystyle \frac{q}{2}}-s,-t)$$だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}& {\displaystyle =(-{\displaystyle \frac{q}{2}}-s)({\displaystyle \frac{q}{2}}-s)+t^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =s^2+t^2-{\displaystyle \frac{q^2}{4}}\mathrm{.}}\end{array}$$$t\mathrm{\ne }0$ より $s^2+t^2>0$ なので，必要条件は$$p>-{\displaystyle \frac{q^2}{4}}$$である。

逆にこの不等式が成り立つなら$$s=0,t=\sqrt{p+{\displaystyle \frac{q^2}{4}}}$$と選べる。この $t$ は0でないから三角形は退化せず，内積はちょうど $p$ になる。よって必要十分条件は$$p>-{\displaystyle \frac{q^2}{4}}$$である。