京都大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1) $$\omega =-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i$$ とおく。これは偏角 ${120}^{\circ }$ の複素数であり、${\omega }^3=1$, $1+\omega +{\omega }^2=0$ を満たす。

条件 $\alpha +\beta +\gamma =3$ より、三角形の重心は $${\displaystyle \frac{\alpha +\beta +\gamma }{3}}=1$$ である。正三角形では重心と中心が一致するので、3頂点は複素数 $1$ を中心とする円周上にある。 $z=\alpha -1$ とおく。正三角形の中心から各頂点までの距離を $r$ とすると、辺の長さは $$\mathrm{\mid }z-\omega z\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }1-\omega \mathrm{\mid }\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=\sqrt{3}\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }$$ である。これが $\sqrt{3}$ に等しいので $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=1$ である。したがって、残りの2頂点は $z$ を中心のまわりに ${120}^{\circ }$, ${240}^{\circ }$ 回転した点であり、順序を除いて $$\{\beta ,\gamma \}=\{1+\omega z,1+{\omega }^{2}z\}$$ である。後の偏角順序に合わせて、必要なら $\beta$ と $\gamma$ を入れ替える。

(2)
(1)の表し方で積を計算する。$1+\omega +{\omega }^2=0$, ${\omega }^3=1$ より $$\alpha \beta \gamma =(1+z)(1+\omega z)(1+{\omega }^{2}z)=1+z^3$$ である。 $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=1$ なので、$z^3$ も単位円上にある。$$z^3=\cos \theta +i\sin \theta$$ とおくと $$\alpha \beta \gamma =1+\cos \theta +i\sin \theta$$ である。これの絶対値が1であるから $\mathrm{\mid }1+z^3\mathrm{\mid }=1$ である。単位円上の点 $z^3$ について$$\mathrm{\mid }1+\cos \theta +i\sin \theta {\mathrm{\mid }}^2=(1+\cos \theta {)}^2+{\sin }^2\theta =2+2\cos \theta$$だから $2+2\cos \theta =1$ すなわち $\cos \theta =-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。さらに $\alpha \beta \gamma$ の虚数部分は正なので $\sin \theta >0$ である。よって $\theta ={120}^{\circ }$ であり、$$z^3=\cos {120}^{\circ }+i\sin {120}^{\circ }$$ である。

したがって $z$ の偏角は ${40}^{\circ },{160}^{\circ },{280}^{\circ }$ のいずれかである。それぞれについて、$1+e^{i\varphi }$ の偏角を調べる。 $z$ の偏角が ${40}^{\circ }$ のとき、3頂点は $1+e^{{40}^{\circ }i},1+e^{{160}^{\circ }i},1+e^{{280}^{\circ }i}$ である。ここで $$1+e^{i\varphi }=2\cos {\displaystyle \frac{\varphi }{2}}{e}^{i\varphi \mathrm{/}2}$$ を用いると、偏角はそれぞれ ${20}^{\circ },{80}^{\circ },{320}^{\circ }$ である。これは指定された順序 $$0^{\circ }\leqq \arg \alpha \leqq \arg \beta \leqq \arg \gamma <{360}^{\circ }$$ に合う。

一方、$z$ の偏角が ${160}^{\circ }$ または ${280}^{\circ }$ のときは、$\alpha =1+z$ の偏角がそれぞれ ${80}^{\circ }$, ${320}^{\circ }$ となり、3つの偏角を $\alpha ,\beta ,\gamma$ の順に非減少に並べることができない。したがって条件に合うのは $z$ の偏角が ${40}^{\circ }$ の場合だけである。

よって$$\arg \alpha ={20}^{\circ },\arg \beta ={80}^{\circ },\arg \gamma ={320}^{\circ }$$である。

正三角形の中心を1へ平行移動し、3頂点を単位円上の120度間隔の点として扱う。積 $1+z^3$ の条件を単位円どうしの交点として図形的に読み、候補角を順序条件で選別する。

(1) $$\omega =\cos {120}^{\circ }+i\sin {120}^{\circ }$$ とする。重心は1で、正三角形の外接半径は1だから、$z=\alpha -1$ と置けば $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=1$ で$$\beta =1+\omega z,\gamma =1+{\omega }^{2}z$$とできる。ただし向きが反対なら $\beta ,\gamma$ を交換する。

(2) $$\alpha \beta \gamma =(1+z)(1+\omega z)(1+{\omega }^{2}z)=1+z^3\mathrm{.}$$$\mathrm{\mid }{z}^3\mathrm{\mid }=1$ かつ $\mathrm{\mid }1+z^3\mathrm{\mid }=1$ なので、複素平面では $z^3$ は中心0と $-1$、半径1の2円の交点にある。虚部が正である方を選ぶと$$\arg z^3={120}^{\circ }\mathrm{.}$$従って$$\arg z={40}^{\circ },{160}^{\circ },{280}^{\circ }\mathrm{.}$$$\arg (1+e^{i\varphi })$ を各候補で調べ、指定された $\alpha ,\beta ,\gamma$ の順序を満たすのは $\arg z={40}^{\circ }$ だけである。よって$$\arg \alpha ={20}^{\circ },\arg \beta ={80}^{\circ },\arg \gamma ={320}^{\circ }\mathrm{.}$$