京都大学 2000年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) $\alpha$ から $\beta$ へ向かう有向直線を考える。$$\mathrm{Im}{\displaystyle \frac{z-\beta }{z-\alpha }}={\displaystyle \frac{\mathrm{Im}\{(z-\beta )\overline{(z-\alpha )}\}}{\mathrm{\mid }z-\alpha {\mathrm{\mid }}^2}}\mathrm{.}$$分母は正であり、分子の符号は点 $z$ が有向直線 $\alpha \beta$ のどちら側にあるかを表す。例えば $\alpha =0,\beta =1$ なら、この虚部は $z=x+iy$ に対して $y\mathrm{/}(x^2+y^2)$ である。

従って求める範囲は、直線 $\alpha \beta$ を境界とし、有向直線 $\alpha \to \beta$ の左側にある開半平面である。境界線上は含まず、$z=\alpha$ では式が定義されない。

(2) $$p={\displaystyle \frac{z-\beta }{z-\alpha }},q={\displaystyle \frac{z-\gamma }{z-\alpha }}$$とおく。与えられた方程式を $(z-\alpha {)}^2$ で割ると$$p+q+pq=0$$となるから$$q=-{\displaystyle \frac{p}{1+p}}\mathrm{.}$$一方$${\displaystyle \frac{\gamma -\beta }{\gamma -\alpha }}={\displaystyle \frac{p-q}{1-q}}={\displaystyle \frac{p(p+2)}{2p+1}}\mathrm{.}$$ここで$${\displaystyle \frac{p(p+2)}{2p+1}}={\displaystyle \frac{1}{2}}p+{\displaystyle \frac{3}{4}}-{\displaystyle \frac{3}{4(2p+1)}}$$なので$$\mathrm{Im}{\displaystyle \frac{\gamma -\beta }{\gamma -\alpha }}=\mathrm{Im}p({\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{3}{2\mathrm{\mid }2p+1{\mathrm{\mid }}^2}})\mathrm{.}$$従って$$\mathrm{Im}{\displaystyle \frac{z-\beta }{z-\alpha }}\text{と}\mathrm{Im}{\displaystyle \frac{\gamma -\beta }{\gamma -\alpha }}$$は同符号である。すなわち、点 $z$ と点 $\gamma$ は直線 $\alpha \beta$ の同じ側にある。

もしこの虚部が0なら $p,q$ はともに実数となり、$\alpha ,\beta ,\gamma$ が同一直線上に並ぶので仮定に反する。従って同じ側という関係は厳密である。同様の議論を $(\alpha ,\beta ,\gamma )$ について循環的に行うと、$z$ は三角形の各辺に対して反対頂点と同じ側にある。従って $z$ は三角形 $\alpha \beta \gamma$ の内部に存在する。

(1) は比の虚部を有向面積として読む。(2)では方程式を3つの逆数の和に直す。
もし $z$ が三角形の外部または辺上なら、$z$ を通る分離直線を取り、
3つの逆数の実部が同符号になることから和が0になるのを排除する。

(1) $$\mathrm{Im}{\displaystyle \frac{z-\beta }{z-\alpha }}={\displaystyle \frac{\mathrm{Im}\{(z-\beta )\overline{(z-\alpha )}\}}{\mathrm{\mid }z-\alpha {\mathrm{\mid }}^2}}\mathrm{.}$$分母は正で、分子は有向直線 $\alpha \to \beta$ と点 $z$ が作る
符号付き面積に対応する。従って求める範囲は、有向直線
$\alpha \to \beta$ の左側の開半平面である。

(2)
方程式を
$(z-\alpha )(z-\beta )(z-\gamma )$ で割る。なお $z$ が
$\alpha ,\beta ,\gamma$ のいずれかなら元の式は0にならないので、この除算は可能である。
すると$${\displaystyle \frac{1}{z-\alpha }}+{\displaystyle \frac{1}{z-\beta }}+{\displaystyle \frac{1}{z-\gamma }}=0.$$$z$ が三角形の内部にないと仮定する。凸な三角形と点 $z$ の位置関係から、
$z$ を通る直線で、$\alpha ,\beta ,\gamma$ がすべて一方の閉半平面に入り、
少なくとも1点がその直線上にないものを取れる。平行移動と回転をして$$\mathrm{Re}(\alpha -z),\mathrm{Re}(\beta -z),\mathrm{Re}(\gamma -z)\geqq 0$$で、少なくとも一つは正としてよい。

任意の $w\mathrm{\ne }0$ について$$\mathrm{Re}{\displaystyle \frac{1}{-w}}=-{\displaystyle \frac{\mathrm{Re}w}{\mathrm{\mid }w{\mathrm{\mid }}^2}}\mathrm{.}$$従って上の3つの逆数の実部はすべて0以下で、少なくとも一つは負である。
その和の実部は負となり、0にはなれない。これは逆数の和が0という式に反する。
ゆえに $z$ は三角形 $\alpha \beta \gamma$ の内部にある。