京都大学 1990年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第5問

(1)

$f$ は逆変換を持つので一対一であり、直線を直線へ移す。接線 $l$ と円 $C$ の共有点は $P$ だけである。もし $l^{\mathrm{\prime }}=f(l)$ と $C^{\mathrm{\prime }}=f(C)$ が $f(P)$ 以外の点 $Y$ も共有すれば、$f^{-1}(Y)$ は $l$ と $C$ の $P$ 以外の共有点になり矛盾する。したがって $l^{\mathrm{\prime }}$ と $C^{\mathrm{\prime }}$ の共有点は $f(P)$ だけであり、$l^{\mathrm{\prime }}$ は $C^{\mathrm{\prime }}$ の $f(P)$ における接線である。

(2)

$X$ を $C$ 上の任意の点とすると、中心 $A$ に関して反対側の点 $X^{\mathrm{\prime }}=2A-X$ も $C$ 上にある。1次変換は和と定数倍を保つので$$f(X^{\mathrm{\prime }})=2f(A)-f(X)\mathrm{.}$$よって $C^{\mathrm{\prime }}$ は $f(A)$ に関して点対称である。円を点対称に移して不変にする点はその中心だけであるから、$f(A)$ は $C^{\mathrm{\prime }}$ の中心である。