京都大学 1996年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1)
$f_1(x)=x,g_1(x)=1$とする。加法定理から、$x=\cos \theta$として$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f_{n+1}(x)}& {\displaystyle =x{f}_n(x)-(1-x^2)g_n(x),}\\ {\displaystyle g_{n+1}(x)}& {\displaystyle =f_n(x)+x{g}_n(x)}\end{array}$$と定めれば、$\cos (n+1)\theta =f_{n+1}(\cos \theta )$、$\sin (n+1)\theta =g_{n+1}(\cos \theta )\sin \theta$となる。右辺は整数係数で、最高次項を調べると$f_{n+1}$は$n+1$次、$g_{n+1}$は$n$次である。従って数学的帰納法により存在する。
(2)
$-1<x<1$で$x=\cos \theta$ $(0<\theta <\pi )$とおく。$f_n(\cos \theta )=\cos n\theta$を$\theta$で微分すると$$-f_n^{\mathrm{\prime }}(\cos \theta )\sin \theta =-n\sin n\theta =-n{g}_n(\cos \theta )\sin \theta \mathrm{.}$$$\sin \theta >0$なので$f_n^{\mathrm{\prime }}(x)=n{g}_n(x)$が$-1<x<1$で成り立つ。両辺は多項式だから、恒等的に成り立つ。
(3)
$f_p(x)={\sum }_{j=0}^p{c}_j{x}^j$とする。(2)より$$\sum _{j=1}^{p}j{c}_j{x}^{j-1}=p{g}_p(x)\mathrm{.}$$従って$1\leqq j\leqq p-1$では$p$が$j{c}_j$を割る。$p$は素数で$j$を割らないため、$p$は$c_j$を割る。また$p$は奇数なので$$c_0=f_p(0)=\cos {\displaystyle \frac{p\pi }{2}}=0.$$よって$p-1$次以下の係数はすべて$p$で割り切れる。

ド・モアブルの定理を二項展開し、偶数次項と奇数次項を分けることで
$f_n,g_n$ を明示的に構成する。(2)は三角関数を微分し、
(3)は導関数の係数比較と奇数 $p$ の定数項を用いる。

(1)

ド・モアブルの定理$$(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n=\cos n\theta +i\sin n\theta$$を展開する。$x=\cos \theta$，${\sin }^2\theta =1-x^2$ とすると$$f_n(x)=\sum _{2r\leqq n}(-1{)}^r{}_n{\mathrm{C}}_{2r}{x}^{n-2r}(1-x^2{)}^r,$$$$g_n(x)=\sum _{2r+1\leqq n}(-1{)}^r{}_n{\mathrm{C}}_{2r+1}{x}^{n-2r-1}(1-x^2{)}^r\mathrm{.}$$いずれも整数係数である。最高次係数はそれぞれ$$\sum _{2r\leqq n}{}_n{\mathrm{C}}_{2r}=2^{n-1},\sum _{2r+1\leqq n}{}_n{\mathrm{C}}_{2r+1}=2^{n-1}$$だから、次数はそれぞれ $n,n-1$ である。

(2) $$f_n(\cos \theta )=\cos n\theta$$を微分すると$$-f_n^{\mathrm{\prime }}(\cos \theta )\sin \theta =-n\sin n\theta =-n{g}_n(\cos \theta )\sin \theta \mathrm{.}$$$0<\theta <\pi$ で $\sin \theta \mathrm{\ne }0$ だから
$f_n^{\mathrm{\prime }}(x)=n{g}_n(x)$ は $-1<x<1$ で成り立つ。
両辺は多項式なので恒等式である。

(3) $$f_p(x)=\sum _{j=0}^p{c}_j{x}^j$$とおく。(2)より$$\sum _{j=1}^{p}j{c}_j{x}^{j-1}=p{g}_p(x)\mathrm{.}$$$1\leqq j\leqq p-1$ では $p\nmid j$ なので $p\mid c_j$ である。
また $p$ は奇数だから$$c_0=f_p(0)=\cos {\displaystyle \frac{p\pi }{2}}=0.$$よって $p-1$ 次以下の係数はすべて $p$ で割り切れる。