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京都大学 1996年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

aは与えられた実数で，0<a≦1をみたすものとする．
xyz空間内に1辺の長さ2aの正三角形△PQRを考える．
辺PQはxy平面上にあり，△PQRを含む平面はxy平面と垂直で，さらに点Rのz座標は正であるとする．

(1) 辺PQがxy平面の単位円の内部(周を含む)を自由に動くとき，
△PQR(内部を含む)が動いてできる立体の体積Vを求めよ．

(2) aが0<a≦1の範囲を動くとき，体積Vの最大値を求めよ．

難易度9/ 10計算量7/ 10目安40分

積分、図形と方程式、微分　座標設定、体積計算、範囲評価、微分による最大最小

方針

高さzで三角形を切ると、PQと平行な半長bの線分になる。その線分が動いて覆う水平断面の半径を求めて積分する。

解答

正三角形の高さは3aである。高さzでの切り口はPQと平行で、その半長はb=a−z3(0≦z≦3a)である。PQの方向を単位ベクトルe、中点をMとする。端点条件∣M±ae∣≦1のもとで、切り口上の点M+te (∣t∣≦b)が原点から取り得る最大距離を求める。M=se+qe⊥とすれば(∣s∣+a)2+q2≦1であり、距離の最大値の二乗は(s+b)2+1−(s+a)2=1−a2+b2+2s(b−a).0≦b≦aなので最大はs=0であり、回転対称性から水平断面は半径1−a2+b2の円板である。
(1)
従ってV=π∫03a{1−a2+(a−z3)2}dz=π3∫0a(1−a2+b2)db=π3(a−2a33).(2)
0<a≦1でV′(a)=π3(1−2a2)だから、a=1/2で最大となる。最大値はVmax⁡=π63.

別解

解法2

方針

高さ z の水平断面を考える。正三角形内のその高さの線分は
PQ と平行で半長 b=a−z/3 である。
PQ の中点を方向成分と垂直成分に分け、端点が単位円内にある条件下で
断面が取り得る半径を最大化する。

解答

正三角形の高さは 3a である。高さ z における
三角形の水平線分の半長を b とすると、相似よりb=a−z3,0≦z≦3a.PQ の方向の単位ベクトルを e、中点をM=se+qe⊥とする。両端が単位円内にある条件は(∣s∣+a)2+q2≦1.高さ z の線分上の点 M+ue は ∣u∣≦b を満たす。
対称性から s≧0 として外端 u=b の距離を調べると∣M+be∣2≦(s+b)2+1−(s+a)2=1−a2+b2+2s(b−a).b≦a なので最大は s=0 のときである。
回転対称性と連続性から水平断面は半径1−a2+b2の円板になる。

(1)

dz=−3 db を用いてV=π∫03a{1−a2+(a−z3)2} dz=π3∫0a(1−a2+b2) db=π3(a−2a33).(2)V′(a)=π3(1−2a2).0<a≦1 で最大となるのは a=1/2 であり、Vmax⁡=π63.

総評

難度9、計算量7。水平断面は単純な半径の和ではないため、動く線分の中点と方向を分けて最大半径を厳密に求めた。端点a=1も含めて最大点を確認した。断面が回転対称な円板を隙間なく覆うことと、半長bの範囲0≦b≦aを用いた。 2解法の結論を相互照合し、定義域、端点、場合分け、問題文の解釈、図示範囲を確認した。 2解法の結論を相互照合し、定義域、端点、場合分け、問題文の解釈、図示範囲を確認した。 2解法の結論を相互照合し、定義域、端点、場合分け、問題文の解釈、図示範囲を確認した。 2解法の結論を相互照合し、定義域、端点、場合分け、問題文の解釈、図示範囲を確認した。 2解法の結論を相互照合し、定義域、端点、場合分け、問題文の解釈、図示範囲を確認した。

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出典: 京都大学 1996年度 後期 理系 第5問。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。