京都大学 1996年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

特別な2辺の共通頂点を$O$、その端点を$A,B$、第4頂点を$C$とする。$\mathit{u}=\overrightarrow{OA}$、$\mathit{v}=\overrightarrow{OB}$、$\mathit{w}=\overrightarrow{OC}$とおくと$$\mathrm{\mid }\mathit{u}{\mathrm{\mid }}^2=x+y,\mathrm{\mid }\mathit{v}{\mathrm{\mid }}^2=x-y,\mathrm{\mid }\mathit{w}{\mathrm{\mid }}^2=1.$$残りの辺長が1であることから$$\mathit{u}\cdot \mathit{v}=x-{\displaystyle \frac{1}{2}},\mathit{u}\cdot \mathit{w}={\displaystyle \frac{x+y}{2}},\mathit{v}\cdot \mathit{w}={\displaystyle \frac{x-y}{2}}\mathrm{.}$$この3ベクトルのグラム行列の行列式は、展開して$$\det G={\displaystyle \frac{3(x^2-y^2)}{4}}-{(x-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2=-{\displaystyle \frac{(x-2{)}^2+3y^2-3}{4}}\mathrm{.}$$四面体が正の体積をもつ必要十分条件は$G$が正定値であることである。問題の条件$x+y>0,x-y>0$のもとでは、$\det G>0$なら2次の主小行列式も正になる。実際$$x-{\displaystyle \frac{1}{4}}-y^2>0$$は$(x-2{)}^2+3y^2<3$から従う。従って存在範囲は$$x>\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid },(x-2{)}^2+3y^2<3.$$すなわち直線$y=\pm x$の間にあり、楕円$(x-2{)}^2+3y^2=3$の内部にある部分で、境界はいずれも含まない。

特別な2辺と、その間の長さ1の辺が作る三角形を先に考える。
第4頂点はその三角形の3頂点から距離1にあるので、外接円半径が
1未満であることが必要十分である。面積と外接円半径を辺長から計算する。

特別な2辺の共通頂点を $O$、端点を $A,B$ とする。$$OA=\sqrt{x+y},OB=\sqrt{x-y},AB=1.$$$\mathrm{△}OAB$ の面積を $\mathrm{\Delta }$ とする。
余弦定理に対応する内積から$$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=x-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$なので$$4{\mathrm{\Delta }}^2=(x+y)(x-y)-{(x-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2=x-{\displaystyle \frac{1}{4}}-y^2\mathrm{.}$$第4頂点 $C$ は $O,A,B$ のすべてから距離1にある。
これは $C$ の $\mathrm{△}OAB$ 平面への射影が外心であり、
外接円半径 $R$ が $R<1$ であることと同値である。
等号では4点が同一平面上となり四面体にならない。

外接円半径の公式より$$R^2={\displaystyle \frac{O{A}^2\cdot O{B}^2\cdot A{B}^2}{16{\mathrm{\Delta }}^2}}={\displaystyle \frac{x^2-y^2}{4(x-{\displaystyle \frac{1}{4}}-y^2)}}\mathrm{.}$$$R<1$ を整理すると$$(x-2{)}^2+3y^2<3.$$また問題の辺長条件は$$x+y>0,x-y>0⟺x>\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$したがって存在範囲は$$x>\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid },(x-2{)}^2+3y^2<3$$であり、境界は含まない。