京都大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

(1) $0<a<1$ なので、$1\leqq x\leqq 3$ では $x-a>0$ であり、$\log (x-a)$ は定義される。$x$ 軸のまわりに回転するので、体積は $$V(a)=\pi {\int }_1^3\{\log (x-a){\}}^{2}dx$$ である。$u=x-a$ とおくと、積分区間は $u=1-a$ から $u=3-a$ までになる。

まず $$\int (\log u{)}^{2}du$$ を求める。部分積分により $$\int (\log u{)}^{2}du=u(\log u{)}^2-2\int \log udu$$ であり、$$\int \log udu=u\log u-u$$ だから $$\int (\log u{)}^{2}du=u\{(\log u{)}^2-2\log u+2\}$$ である。したがって $$V(a)=\pi \{F(3-a)-F(1-a)\}$$ である。ただし $$F(u)=u\{(\log u{)}^2-2\log u+2\}$$ である。

(2)
(1)の表示を微分する。$F^{\mathrm{\prime }}(u)=(\log u{)}^2$ なので $$V^{\mathrm{\prime }}(a)=\pi \{-F^{\mathrm{\prime }}(3-a)+F^{\mathrm{\prime }}(1-a)\}$$ すなわち $$V^{\mathrm{\prime }}(a)=\pi \{(\log (1-a){)}^2-(\log (3-a){)}^2\}$$ である。 $0<a<1$ では $0<1-a<1,2<3-a<3$ である。したがって $$\log (1-a)<0,\log (3-a)>0$$ である。よって $V^{\mathrm{\prime }}(a)=0$ は $-\log (1-a)=\log (3-a)$ と同値である。これは $\log \{(1-a)(3-a)\}=0$ すなわち $(1-a)(3-a)=1$ である。展開すると $a^2-4a+2=0$ であり、$0<a<1$ に入る解は $a=2-\sqrt{2}$ である。

符号も確認する。$a$ が0に近いときは $(\log (1-a){)}^2$ が小さく、$(\log (3-a){)}^2$ が大きいので $V^{\mathrm{\prime }}(a)<0$ である。一方、$a$ が1に近づくと $(\log (1-a){)}^2$ が大きくなるので $V^{\mathrm{\prime }}(a)>0$ である。したがって $a=2-\sqrt{2}$ で $V(a)$ は最小となる。

このとき $$1-a=\sqrt{2}-1,3-a=1+\sqrt{2}$$ である。$L=\log (1+\sqrt{2})$ とおくと $$\log (3-a)=L,\log (1-a)=\log (\sqrt{2}-1)=-L$$ である。よって $$V_{\min }=\pi \{F(1+\sqrt{2})-F(\sqrt{2}-1)\}$$ である。$q=1+\sqrt{2}$ とおくと $q^{-1}=\sqrt{2}-1$ で、$$q-q^{-1}=2,q+q^{-1}=2\sqrt{2}$$ である。したがって $$F(q)-F(q^{-1})=q(L^2-2L+2)-q^{-1}(L^2+2L+2)$$ $$=(q-q^{-1})(L^2+2)-2L(q+q^{-1})$$ $=2L^2+4-4\sqrt{2}L$ となる。ゆえに最小値は $\pi \{2L^2-4\sqrt{2}L+4\}$ すなわち$$\pi \left\{2\right(\log (1+\sqrt{2}){)}^2-4\sqrt{2}\log (1+\sqrt{2})+4\}$$である。

$u=x-a$ として、長さ2の区間 $[c,c+2]$ 上の $(\log u{)}^2$ の積分と見る。区間を平行移動したときの増減を両端の高さだけで判断し、最適位置と最小値を求める。

(1)
$c=1-a$ とおくと $0<c<1$ であり、$${\displaystyle \frac{V(a)}{\pi }}={\int }_c^{c+2}(\log u{)}^{2}du\mathrm{.}$$ここで$$F(u)=u\{(\log u{)}^2-2\log u+2\}$$とおけば $F^{\mathrm{\prime }}(u)=(\log u{)}^2$ だから、$$V(a)=\pi \{F(3-a)-F(1-a)\}\mathrm{.}$$(2)
この長さ2の区間を右へ動かしたときの変化率は、右端で加わる高さから左端で失う高さを引いた$${\displaystyle \frac{d}{dc}}\left({\displaystyle \frac{V}{\pi }}\right)=\{\log (c+2){\}}^2-(\log c{)}^2$$である。$0<c<1$ では $\log c<0<\log (c+2)$ なので、変化率が0となる条件は$$\log (c+2)=-\log c,$$すなわち$$c(c+2)=1.$$正の解は$$c=\sqrt{2}-1,a=2-\sqrt{2}\mathrm{.}$$$c<\sqrt{2}-1$ では $-\log c>\log (c+2)$ なので変化率は負、$c>\sqrt{2}-1$ では正である。従ってここで最小となる。

$L=\log (1+\sqrt{2})$ とすると、最適区間の両端は$$\sqrt{2}-1=e^{-L},\sqrt{2}+1=e^L\mathrm{.}$$従って$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V_{\min }}& {\displaystyle =\pi \{F(1+\sqrt{2})-F(\sqrt{2}-1)\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi \{2L^2-4\sqrt{2}L+4\}\mathrm{.}}\end{array}$$すなわち$$V_{\min }=\pi [2\{\log (1+\sqrt{2}){\}}^2-4\sqrt{2}\log (1+\sqrt{2})+4]\mathrm{.}$$