京都大学 1997年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第1問

平行移動後の放物線は$$C_{p,q}:y=a(x-p{)}^2+q$$であり、その頂点は$(p,q)$である。頂点が$C_1$上にあるから$$q=p^2\mathrm{.}$$交点の$x$座標は$$x^2=a(x-p{)}^2+p^2$$を満たす。整理して因数分解すると$$(x-p)\{(1-a)x+(a+1)p\}=0.$$一方の交点は$x=p$であり、他方を$r$とすると$$r={\displaystyle \frac{a+1}{a-1}}p\mathrm{.}$$2点が異なるため$p\mathrm{\ne }0$である。

$x=r$における$C_1$の接線の傾きは$2r$、$C_{p,q}$の接線の傾きは$2a(r-p)$である。直交条件は$$4ar(r-p)=-1.$$ここで$$r-p={\displaystyle \frac{2p}{a-1}}$$だから$${\displaystyle \frac{8a(a+1)p^2}{(a-1{)}^2}}=-1,p^2=-{\displaystyle \frac{(a-1{)}^2}{8a(a+1)}}\mathrm{.}$$この右辺が正となる必要十分条件は$$a(a+1)<0,$$すなわち$$-1<a<0.$$逆にこの範囲なら右辺は正なので、その平方根のいずれかを$p$とし$q=p^2$とおけば、2交点は相異なり、他方で接線は直交する。従って求める範囲は$-1<a<0$である。

頂点からもう一つの交点までの水平距離を $h=r-p$ と置く。頂点が $y=x^2$ 上にある条件を使うと、交点条件は $h$ と $p$ の一次関係になる。交点での2接線の傾きを $p,h,a$ で書いて直交条件へ代入し、$p^2>0$ となる範囲を判定する。

平行移動後の放物線を$$C_{p,q}:y=a(x-p{)}^2+q$$とする。頂点 $(p,q)$ が $C_1:y=x^2$ 上にあるから$$q=p^2\mathrm{.}$$もう一つの交点の $x$ 座標を $r=p+h$ と置く。2点が異なるので $h\mathrm{\ne }0$ である。交点条件は$$(p+h{)}^2=a{h}^2+p^2\mathrm{.}$$$h\mathrm{\ne }0$ で割ると$$\begin{array}{cccc}& 2p+(1-a)h=0,h={\displaystyle \frac{2p}{a-1}}\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$交点 $x=r$ における $C_1$ の接線の傾きは $2r=2(p+h)$、$C_{p,q}$ の接線の傾きは $2ah$ である。直交条件は$$4ah(p+h)=-1.$$(1)を代入して整理すると$$\begin{array}{cccc}& p^2=-{\displaystyle \frac{(a-1{)}^2}{8a(a+1)}}\mathrm{.}& & \text{(2)}\end{array}$$相異なる2交点を作るには $p\mathrm{\ne }0$ が必要であり、(2)の右辺が正でなければならない。$a\mathrm{\ne }1$ だから、これは$$a(a+1)<0$$と同値である。従って$$-1<a<0.$$逆にこの範囲なら (2) で $p\mathrm{\ne }0$ を選べる。(1)で $h\mathrm{\ne }0$、$q=p^2$ と定めれば、頂点ともう一つの交点が相異なり、その交点で2接線は直交する。よってこの範囲は必要十分である。