京都大学 2000年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

(1) $r=\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }>0$ とおく。もし $r>1$ なら、逆三角不等式より$$\mathrm{\mid }{a}_n\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{\alpha }^n+{\alpha }^{-n}\mathrm{\mid }\geqq r^n-r^{-n}\mathrm{.}$$右辺は $n$ を大きくすると2を超えるので、すべての自然数 $n$ で $\mathrm{\mid }{a}_n\mathrm{\mid }<2$ という仮定に反する。

もし $0<r<1$ なら同様に$$\mathrm{\mid }{a}_n\mathrm{\mid }\geqq r^{-n}-r^n$$が大きな $n$ で2を超え、やはり矛盾する。従って$$\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }=1$$である。

(2) $$\alpha =\cos \theta +i\sin \theta$$ とおくと$$a_m=2\cos m\theta \mathrm{.}$$従って $\mathrm{\mid }\cos m\theta \mathrm{\mid }>1\mathrm{/}2$ となる自然数 $m$ を見つければよい。

$\mathrm{\mid }\cos \theta \mathrm{\mid }>1\mathrm{/}2$ なら $m=1$ でよい。そうでなければ、余弦の絶対値の周期性から$${\displaystyle \frac{\pi }{3}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$$としてよい。この範囲では $\mathrm{\mid }\cos 2\theta \mathrm{\mid }\geqq 1\mathrm{/}2$ であり、端点以外では不等号は厳密だから $m=2$ でよい。端点 $\theta =\pi \mathrm{/}3,2\pi \mathrm{/}3$ では$$\mathrm{\mid }\cos 3\theta \mathrm{\mid }=1$$なので $m=3$ でよい。

以上より常に$$\mathrm{\mid }{a}_m\mathrm{\mid }=2\mathrm{\mid }\cos m\theta \mathrm{\mid }>1$$となる自然数 $m$ が存在する。

(1) は逆三角不等式で単位円上にあることを示す。
(2)は $c=\cos \theta$ とおき、2倍角・3倍角を使って
$m=1,2,3$ のいずれかで厳密不等号が成立することを代数的に証明する。

(1)
$r=\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }$ とする。$r>1$ なら$$\mathrm{\mid }{a}_n\mathrm{\mid }\geqq r^n-r^{-n}⟶\mathrm{\infty },$$$0<r<1$ なら$$\mathrm{\mid }{a}_n\mathrm{\mid }\geqq r^{-n}-r^n⟶\mathrm{\infty }\mathrm{.}$$いずれもすべての $n$ で $\mathrm{\mid }{a}_n\mathrm{\mid }<2$ という仮定に反する。従って$$\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }=1.$$(2)
$\alpha =e^{i\theta }$、$c=\cos \theta$ とおくと$$a_m=2\cos m\theta \mathrm{.}$$$\mathrm{\mid }c\mathrm{\mid }>1\mathrm{/}2$ なら $m=1$ でよい。そうでないとする。
$\mathrm{\mid }2c^2-1\mathrm{\mid }>1\mathrm{/}2$ なら、$\cos 2\theta =2c^2-1$ より $m=2$ でよい。
これも成り立たないなら$$\mathrm{\mid }c\mathrm{\mid }\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}},\mathrm{\mid }2c^2-1\mathrm{\mid }\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$$から $c^2=1\mathrm{/}4$ となる。3倍角の公式より$$\cos 3\theta =4c^3-3c=-2c,$$従って$$\mathrm{\mid }{a}_3\mathrm{\mid }=2\mathrm{\mid }\cos 3\theta \mathrm{\mid }=2>1.$$以上より条件を満たす自然数 $m$ が必ず存在する。