京都大学 1999年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

$\gamma$ を固定すると $\alpha +\beta =\pi -\gamma$ である。和積公式より$$\sin \alpha +\sin \beta =2\sin {\displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2}}\cos {\displaystyle \frac{\alpha -\beta }{2}}\leqq 2\cos {\displaystyle \frac{\gamma }{2}},$$等号は $\alpha =\beta$ のときに成り立つ。さらに相加相乗平均より$$\sin \alpha \sin \beta \leqq {\left({\displaystyle \frac{\sin \alpha +\sin \beta }{2}}\right)}^2\leqq {\cos }^2{\displaystyle \frac{\gamma }{2}}\mathrm{.}$$従って$$\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \leqq {\cos }^2{\displaystyle \frac{\gamma }{2}}\sin \gamma \mathrm{.}$$$u=\gamma \mathrm{/}2$ とおくと右辺は$$2\sin u{\cos }^{3}u\mathrm{.}$$これを微分すると$$2{\cos }^{2}u(1-4{\sin }^{2}u)$$となるから、$0<u<\pi \mathrm{/}2$ で最大となるのは$$\sin u={\displaystyle \frac{1}{2}},u={\displaystyle \frac{\pi }{6}},$$すなわち $\gamma =\pi \mathrm{/}3$ のときである。このとき等号条件から$$\alpha =\beta ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\mathrm{.}$$従って最大値は$${(\sin {\displaystyle \frac{\pi }{3}})}^3={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{8}}\mathrm{.}$$

$\log \sin x$ の凹性を使う。3角の平均が $\pi \mathrm{/}3$ であることへ Jensen 型の評価を適用すると、積の最大値と等号条件が対称に一度で得られる。凹性は2階微分を答案内で確認する。

$g(x)=\log (\sin x)$ と置くと、$0<x<\pi$ で$$g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{1}{{\sin }^{2}x}}<0.$$従って $g$ は狭義凹関数である。3数の平均は$${\displaystyle \frac{\alpha +\beta +\gamma }{3}}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$$だから、凹性より$${\displaystyle \frac{g(\alpha )+g(\beta )+g(\gamma )}{3}}\leqq g\left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)\mathrm{.}$$指数を取って$$\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \leqq {(\sin {\displaystyle \frac{\pi }{3}})}^3={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{8}}\mathrm{.}$$狭義凹性の等号条件は$$\alpha =\beta =\gamma ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$$であり、実際に条件を満たす。従って最大値は$${\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{8}}$$である。