京都大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) $z_1,z_2$ を先に選ぶと、積を1にするための $z_3$ は $z_3=(z_1{z}_2{)}^{-1}$ とただ1通りに決まる。ただし、問題では各 $z_j$ が1でない $p$ 乗根でなければならないので、$z_3=1$ となる場合は除く必要がある。 $z_1,z_2$ の選び方は $(p-1{)}^2$ 通りである。このうち $z_3=1$ となるのは $z_1{z}_2=1$ のときであり、$z_1$ を1でない $p$ 乗根として選べば $z_2=z_1^{-1}$ はただ1通りに決まる。したがってそのような組は $p-1$ 通りである。

よって $$a_3=(p-1{)}^2-(p-1)=(p-1)(p-2)$$ である。

(2)

長さ $n+1$ の列 $(z_1,z_2,\dots ,z_n,z_{n+1})$ を考える。前の $n$ 個の積を $w=z_1{z}_2\cdots z_n$ とする。積全体を1にするためには $z_{n+1}=w^{-1}$ でなければならない。これはただ1通りに決まるが、$z_{n+1}\mathrm{\ne }1$ である必要があるから、必要十分条件は $w\mathrm{\ne }1$ である。

前の $n$ 個の選び方は全部で $(p-1{)}^n$ 通りあり、そのうち積が1になるものが $a_n$ 通りである。したがって $a_{n+1}=(p-1{)}^n-a_n$ を得る。これを $(p-1{)}^n=a_n+a_{n+1}$ と書いておく。

さらに $$a_{n+2}=(p-1{)}^{n+1}-a_{n+1}$$ であるから、上の式を用いて $$a_{n+2}=(p-1)(a_n+a_{n+1})-a_{n+1}$$ となる。よって $$a_{n+2}=(p-1)a_n+(p-2)a_{n+1}$$ である。

(3)

(2) で得た $a_{n+1}=(p-1{)}^n-a_n$ を解く。右辺に現れる $(p-1{)}^n$ の影響を消すために $$b_n=a_n-{\displaystyle \frac{(p-1{)}^n}{p}}$$ とおく。このとき $$b_{n+1}=a_{n+1}-{\displaystyle \frac{(p-1{)}^{n+1}}{p}}$$ であり、$a_{n+1}=(p-1{)}^n-a_n$ を代入すると $$b_{n+1}=(p-1{)}^n-a_n-{\displaystyle \frac{(p-1{)}^{n+1}}{p}}$$ $$=-a_n+{\displaystyle \frac{(p-1{)}^n}{p}}=-b_n$$ となる。

また、長さ2の場合は $z_1{z}_2=1$ となるように $z_1$ を選べば $z_2=z_1^{-1}$ が決まるので $a_2=p-1$ である。したがって $$b_2=a_2-{\displaystyle \frac{(p-1{)}^2}{p}}=p-1-{\displaystyle \frac{(p-1{)}^2}{p}}={\displaystyle \frac{p-1}{p}}$$ である。$b_{n+1}=-b_n$ より $$b_n={\displaystyle \frac{p-1}{p}}(-1{)}^n$$ となる。

よって$$a_n={\displaystyle \frac{(p-1{)}^n}{p}}+{\displaystyle \frac{p-1}{p}}(-1{)}^n={\displaystyle \frac{(p-1{)}^n+(p-1)(-1{)}^n}{p}}$$である。

非自明な $p$ 乗根を ${\omega }^r$ と指数で表す。
指数和が $0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$ であることの指示式を、1の $p$ 乗根の有限和で作る。
これにより一般項を直接求め、(1)(2)も確認する。

$$\omega =\cos (2\pi \mathrm{/}p)+i\sin (2\pi \mathrm{/}p)$$ とする。
各 $z_k$ は ${\omega }^{r_k}$ $(1\leqq r_k\leqq p-1)$ と一意に書ける。
積が1である条件は$$r_1+\cdots +r_n\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$$である。

整数 $s$ に対して$${\displaystyle \frac{1}{p}}\sum _{j=0}^{p-1}{\omega }^{js}=\{\begin{array}{ll}1& (s\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)),\\ 0& (s\equiv ̸0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p))\end{array}$$が成り立つ。これは有限等比級数から分かる。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_n}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{p}}\sum _{j=0}^{p-1}{\left(\sum _{r=1}^{p-1}{\omega }^{jr}\right)}^n\mathrm{.}}\end{array}$$$j=0$ の内側の和は $p-1$、$1\leqq j\leqq p-1$ では$$1+\sum _{r=1}^{p-1}{\omega }^{jr}=0$$だから内側の和は $-1$ である。よって$$a_n={\displaystyle \frac{(p-1{)}^n+(p-1)(-1{)}^n}{p}}\mathrm{.}$$(1) $n=3$ を代入すると$$a_3={\displaystyle \frac{(p-1{)}^3-(p-1)}{p}}=(p-1)(p-2)\mathrm{.}$$(2) 上の一般項を代入して整理すれば$$a_{n+2}=(p-1)a_n+(p-2)a_{n+1}\mathrm{.}$$(3) 一般項は$$a_n={\displaystyle \frac{(p-1{)}^n+(p-1)(-1{)}^n}{p}}$$である。