京都大学 2001年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第6問

$P=(\cos t,\sin t)$ とおく。$P$ における単位円の接線は$$x\cos t+y\sin t=1$$である。この接線に垂直な方向は $(\cos t,\sin t)$ だから$$Q=(a,0)+\lambda (\cos t,\sin t)$$と書ける。接線の式へ代入すると $a\cos t+\lambda =1$ より $\lambda =1-a\cos t$ である。従って$$\begin{array}{rl}{\displaystyle x(t)}& {\displaystyle =a+\cos t-a{\cos }^{2}t={\displaystyle \frac{a}{2}}+\cos t-{\displaystyle \frac{a}{2}}\cos 2t,}\\ {\displaystyle y(t)}& {\displaystyle =\sin t-a\sin t\cos t=\sin t-{\displaystyle \frac{a}{2}}\sin 2t\mathrm{.}}\end{array}$$まず $c=\cos t$ とおくと$$x=-a{c}^2+c+a=-a{(c-{\displaystyle \frac{1}{2a}})}^2+a+{\displaystyle \frac{1}{4a}}\mathrm{.}$$$-1<a<-1\mathrm{/}2$ では $1\mathrm{/}(2a)\in (-1,-1\mathrm{/}2)$ であり、$-a>0$ だから$$\min x=a+{\displaystyle \frac{1}{4a}}\mathrm{.}$$さらに$$a+{\displaystyle \frac{1}{4a}}+1={\displaystyle \frac{(2a+1{)}^2}{4a}}<0$$なので $\min x<-1$ である。

面積を求める前に曲線が単純閉曲線であることを確認する。$u=e^{it}$ とすれば$$x+iy={\displaystyle \frac{a}{2}}+u-{\displaystyle \frac{a}{2}}{u}^2\mathrm{.}$$異なる $u,v$ が同じ点を与えるなら$$(u-v)\{1-{\displaystyle \frac{a}{2}}(u+v)\}=0$$だが、$\mathrm{\mid }a(u+v)\mathrm{/}2\mathrm{\mid }\leqq \mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }<1$ なので第2因子は0にならない。従って一周で重なりはない。

囲まれる面積 $S$ は$$S={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_0^{2\pi }\{x{y}^{\mathrm{\prime }}-y{x}^{\mathrm{\prime }}\}dt\mathrm{.}$$上の媒介表示を代入する。異なる周波数の三角関数の積の積分は0であり、$\cos t,\sin t$ の組と $-(a\mathrm{/}2)\cos 2t,-(a\mathrm{/}2)\sin 2t$ の組だけが残るから$$S=\pi \{1+2{\left({\displaystyle \frac{a}{2}}\right)}^2\}=\pi (1+{\displaystyle \frac{a^2}{2}})\mathrm{.}$$

媒介表示を得た後、$x$ は $\cos t$ の二次関数として微分し、
内部の極小点と端点を比較する。
面積公式には媒介表示を直接代入し、周期の異なる積分が0になることを使う。

主解法と同じく$$x=a+\cos t-a{\cos }^{2}t,y=\sin t-a\sin t\cos t$$を得る。

$c=\cos t\in [-1,1]$ とおくと$$x(c)=a+c-a{c}^2,{\displaystyle \frac{dx}{dc}}=1-2ac\mathrm{.}$$$-1<a<-1\mathrm{/}2$ では $c=1\mathrm{/}(2a)$ が $(-1,0)$ にあり、
$-a>0$ なのでここで最小となる。したがって$$x_{\min }=a+{\displaystyle \frac{1}{4a}}\mathrm{.}$$さらに$$x_{\min }+1={\displaystyle \frac{(2a+1{)}^2}{4a}}<0$$より $x_{\min }<-1$ である。

また$$x={\displaystyle \frac{a}{2}}+\cos t-{\displaystyle \frac{a}{2}}\cos 2t,y=\sin t-{\displaystyle \frac{a}{2}}\sin 2t\mathrm{.}$$面積公式$$S={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_0^{2\pi }(x{y}^{\mathrm{\prime }}-y{x}^{\mathrm{\prime }})dt$$へ代入する。定数項と正弦・余弦の積、および異なる周波数どうしの積は
一周期の積分で0になる。周波数1の円成分から $\pi$、
周波数2で半径 $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\mathrm{/}2$ の成分から$$2\pi {\left({\displaystyle \frac{a}{2}}\right)}^2$$が残る。よって$$S=\pi +{\displaystyle \frac{\pi a^2}{2}}=\pi (1+{\displaystyle \frac{a^2}{2}})\mathrm{.}$$