京都大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

$$\omega =\cos {\theta }^{\circ }+i\sin {\theta }^{\circ }$$ とおく。$0<\theta <90$ なので $\omega \mathrm{\ne }1$ である。 $d_n=z_n-z_{n-1}$ とおくと、条件(i)より $d_1=z_1-z_0=a$ である。また条件(ii)より、$d_{n+1}$ は $d_n$ を原点のまわりに ${\theta }^{\circ }$ 回転したものだから $d_{n+1}=\omega d_n$ である。したがって $$d_n=a{\omega }^{n-1}(n\geqq 1)$$ となる。

よって $$z_n=z_0+d_1+d_2+\cdots +d_n=a(1+\omega +{\omega }^2+\cdots +{\omega }^{n-1})$$ である。$\omega \mathrm{\ne }1$ だから $$z_n=a{\displaystyle \frac{1-{\omega }^n}{1-\omega }}$$ である。 $a>0$ であり、$1-\omega \mathrm{\ne }0$ なので、$z_n=z_0=0$ となることは $1-{\omega }^n=0$ すなわち ${\omega }^n=1$ と同値である。 ${\omega }^n$ は偏角 $n{\theta }^{\circ }$ をもつので、${\omega }^n=1$ となることは $n\theta =360m$ を満たす整数 $m$ が存在することと同値である。

まず、ある $n\geqq 1$ で $z_n=z_0$ となるとする。このとき上の議論より $n\theta =360m$ となる整数 $m$ が存在する。したがって $$\theta ={\displaystyle \frac{360m}{n}}$$ であり、$\theta$ は有理数である。

逆に $\theta$ が有理数であるとする。$0<\theta <90$ だから、正の整数 $u,v$ を用いて $$\theta ={\displaystyle \frac{u}{v}}$$ と書ける。このとき $n=360v$ とすれば $$n\theta =360v\cdot {\displaystyle \frac{u}{v}}=360u$$ である。よって ${\omega }^n=1$ となり、上の式から $z_n=0=z_0$ である。

以上より、$z_n$ が $z_0$ と一致するような $n\geqq 1$ が存在するための必要十分条件は $\theta \text{ が有理数であること}$ である。

各辺の長さは $a$、向きは等差的に増える。等比数列の和を
三角関数の形へ変形すると、原点へ戻る条件は
$\sin (n{\theta }^{\circ }\mathrm{/}2)=0$ になる。これを度数法で読み替えて
$n\theta =360m$ とし、有理性との必要十分を両向きに示す。

$\phi ={\theta }^{\circ }$ をラジアンで表した角とする。第 $k$ 番目の辺は$$z_k-z_{k-1}=a{e}^{i(k-1)\phi }$$だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle z_n}& {\displaystyle =a(1+e^{i\phi }+\cdots +e^{i(n-1)\phi })}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a{e}^{i(n-1)\phi \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sin (n\phi \mathrm{/}2)}{\sin (\phi \mathrm{/}2)}}\mathrm{.}}\end{array}$$$0<\theta <90$ より分母は0でない。したがって$$z_n=0⟺\sin {\displaystyle \frac{n\phi }{2}}=0⟺n\theta =360m$$となる整数 $m$ が存在する。

実際に原点へ戻る $n$ があれば
$\theta =360m\mathrm{/}n$ なので $\theta$ は有理数である。
逆に $\theta =u\mathrm{/}v$ と有理数表示できるなら、$n=360v$ と取れば
$n\theta =360u$ となり $z_n=0$ である。
よって必要十分条件は $\theta$ が有理数であることである。