京都大学 2004年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

$f(u)$ は $0\leqq u\leqq 1$ では $u$、$u>1$ では0である。ここで $u=4nx(1-x)$ とおくと、$0\leqq x\leqq 1$ では $u\geqq 0$ である。したがって $f(4nx(1-x))$ が0でないのは $4nx(1-x)\leqq 1$ を満たすところである。 $0<{\alpha }_n<{\displaystyle \frac{1}{2}}$ を $$4n{\alpha }_n(1-{\alpha }_n)=1$$ を満たす数とする。このとき、$4nx(1-x)$ は $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ に関して対称であるから、非零となる区間は $$0\leqq x\leqq {\alpha }_n,1-{\alpha }_n\leqq x\leqq 1$$ である。したがって対称性より $${\int }_0^{1}f(4nx(1-x))dx=2{\int }_0^{{\alpha }_n}4nx(1-x)dx$$ である。

右辺を計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 2{\int }_0^{{\alpha }_n}4nx(1-x)dx}& {\displaystyle =8n{\int }_0^{{\alpha }_n}(x-x^2)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =8n({\displaystyle \frac{{\alpha }_n^2}{2}}-{\displaystyle \frac{{\alpha }_n^3}{3}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4n{\alpha }_n^2-{\displaystyle \frac{8}{3}}n{\alpha }_n^3\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$n{\int }_0^{1}f(4nx(1-x))dx=4n^2{\alpha }_n^2-{\displaystyle \frac{8}{3}}{n}^2{\alpha }_n^3=(n{\alpha }_n{)}^2(4-{\displaystyle \frac{8}{3}}{\alpha }_n)$$である。

また $$4n{\alpha }_n(1-{\alpha }_n)=1$$ より $$n{\alpha }_n={\displaystyle \frac{1}{4(1-{\alpha }_n)}}$$ である。$0<{\alpha }_n<{\displaystyle \frac{1}{2}}$ であり、式 $$4n{\alpha }_n(1-{\alpha }_n)=1$$ から ${\alpha }_n\to 0$ が分かる。したがって $n{\alpha }_n\to {\displaystyle \frac{1}{4}}$ である。

以上より$$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }n{\int }_0^{1}f(4nx(1-x))dx={\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^2\cdot 4={\displaystyle \frac{1}{4}}$$である。

$4nx(1-x)=1$ の小さい解を根の公式で明示し、その漸近的な大きさを有理化から求める。

方程式 $4nx(1-x)=1$ の小さい解を ${\alpha }_n$ とすると$${\alpha }_n={\displaystyle \frac{1-\sqrt{1-{\displaystyle \frac{1}{n}}}}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2n(1+\sqrt{1-{\displaystyle \frac{1}{n}}})}}\mathrm{.}$$したがって$${\alpha }_n\to 0,n{\alpha }_n\to {\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$関数が0でない区間は $[0,{\alpha }_n]$ と $[1-{\alpha }_n,1]$ であり、対称性から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle n{\int }_0^{1}f(4nx(1-x))dx}& {\displaystyle =8n^2{\int }_0^{{\alpha }_n}(x-x^2)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4(n{\alpha }_n{)}^2-{\displaystyle \frac{8}{3}}(n{\alpha }_n{)}^2{\alpha }_n\mathrm{.}}\end{array}$$右辺で $n\to \mathrm{\infty }$ とすれば$$4{\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^2={\displaystyle \frac{1}{4}}$$を得る。